L2 : Normes équivalentes

**Chamimi** · 07/07/2011, 15h11

Bonjour,

Il y a quelque chose que je ne comprends pas dans un exemple de mon livre.

On a une suite $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ telle que :
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Cette suite converge donc vers $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ et pour $\text{[math]}$ mais pas pour $\text{[math]}$ .
Les normes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne sont pas équivalentes.
Les normes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne sont pas équivalentes.
D'autre part, si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ étaient équivalentes, il existeraient $\text{[math]}$ tel que :
$\text{[math]}$ .
On aurait donc, pour tout n : $\text{[math]}$ .
Ce qui est faux. Les normes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne sont pas équivalentes.

Pourtant il y a un théorème qui dit que :
(Les deux normes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont équivalentes) $\text{[math]}$ (Une suite $\text{[math]}$ d'éléments de E converge vers un élément $\text{[math]}$ de E relativement à la norme $\text{[math]}$ si et seulement si elle converge vers $\text{[math]}$ pour la normes $\text{[math]}$ )

Pourquoi les normes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne sont pas équivalentes vu qu'elles convergent toutes les deux vers 0?

invite899aa2b3 · 07/07/2011, 15h37

Envoyé par Chamimi

Pourtant il y a un théorème qui dit que :
(Les deux normes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont équivalentes) $\text{[math]}$ (Une suite $\text{[math]}$ d'éléments de E converge vers un élément $\text{[math]}$ de E relativement à la norme $\text{[math]}$ si et seulement si elle converge vers $\text{[math]}$ pour la normes $\text{[math]}$ )

Pourquoi les normes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne sont pas équivalentes vu qu'elles convergent toutes les deux vers 0?

On demande à ce que la propriété de convergence simultanées pour les normes soit satisfaite pour toute suite, alors qu'ici on sait que c'est vrai seulement pour une suite en particulier.

**Chamimi** · 07/07/2011, 16h14

Merci, maintenant ça me paraît logique. J'aurais mis du temps pour trouver seule.

invite899aa2b3 · 07/07/2011, 16h20

En fait c'est le "une" qui induite en erreur. On devrait dire "pour une suite quelconque $\text{[math]}$ ".

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