toutes les normes sont équivalentes

[invite80487107]

salut tt le monde
plutot toutes les normes sont équivalentes donc R^n
en effet
considérons deux normes ||.||,||.||" et montrons qu'il existe n,m>0 telque n||.||"<=||.|| <=m||.||" ...
je vois pas comment faire pr trouver n et m
svp si klk1 à une idée aidez moi
merci d'avance
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[invite80487107]

je vous propose cet idée et j'atten votre reaction...
on considère la norme ||x=somme xi.ei||=somme|xi| c la norme 1 sur R^n
soit ||.||' une norme sur R^n fR^n,||.||)-->R+ / f(x)=||x||'
on considère l'ensemble S={x/||x||=1}
si f est continue sur S on prends sa borne sup et sa borne inf noté respectivemen n et m
ona || x/||x|| || = 1 donc n<f(|| x/||x|| ||)<m d'ou le resultat mais ici il faut preuver que S est combact et que f continue

[invite57a1e779]

est compact parce que fermé borné dans un evn de dimension finie.
est continue parce que lipschitzienne dans le rapport

[invite80487107]

comment en général preuvé qu'une partie est compact a part la définition de tte recouvremen d'ouvert on peut extraire une recouveremen fini ??

[A voir en vidéo sur Futura]