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Recurrence



  1. #1
    slash89

    Recurrence


    ------

    Bonjour à toutes et à tous,j'ais un petit soucis avec une recurrence:

    J'ais quelque soit alpha appartenant à N

    Somme de k=0 jusqu'a alpha de :
    (-1)^k *combinaison(k,alpha)*(X-k)^alpha=factoriel alpha


    Pour le rang alpha+1 j'ais essayer de me ramener a l'hypothese en ecrivant cette combinaison avec la somme de 2 autres et en modifiant ma somme de k=0 jusqu'à alpha+1 en deux sommes.
    Mais je n'y arrive pas du tout.

    Pouvez vous me lancer sur une piste?

    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    ericcc

    Re : Recurrence

    C'est quoi X ? Cette égalité me semble louche

  3. #3
    slash89

    Re : Recurrence

    Je pense que X est juste une inconnue.En fait il faut que je demontre ce lemme par recurrence pour l'utiliser pour des suite recurrentes linéaires.

    J'ais comme donné entre autre l'expression des alpha i suite d'un espace:

    n(q)=(lambda i)^n *nq où q est compris (non strictement) entre 0 et alpha i-1

  4. #4
    slash89

    Re : Recurrence

    Avez vous besoin d'informations supplémentaires?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    God's Breath

    Re : Recurrence

    La formule à établir est elle ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  7. #6
    slash89

    Re : Recurrence

    Oui effectivement.(je n'ais pas réussi à l'écrire aussi clairement désolé).

  8. #7
    slash89

    Re : Recurrence

    Est-ce donc possible de résoudre ce problème avec ces informations?

  9. #8
    martini_bird

    Re : Recurrence

    Salut,

    une réponse laborieuse mais une réponse quand même : on développe selon les puissances décroissantes de :



    Nous allons démontrer que :



    Pour celà, on montre par récurrence sur , , que :



    est un polynôme (la démonstration se fait en multipliant les deux membres par et en dérivant).

    On pourra aussi établir que :

    et en déduire que si bien que .

    Cordialement.

    En espérant ne pas avoir commis trop d'erreurs...
    Dernière modification par martini_bird ; 05/11/2008 à 12h37.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  10. #9
    slash89

    Re : Recurrence

    Tout d'abord merci d'avoir répondu^^.Ton explication et ta démonstration sont vraiment bien faites même si j'admets que je n'aurais jamais penser à passer par là.Mais il reste tout de même des points d'ombres pour moi.En fait je ne comprends pas ta factorisation de la première ligne?J'ais toujours enormement de mal dans ce genre de problème avec des sommes ne sachant pas, la plupart du temps comment mettre en facteur.Donc si tu pouvais l'expliciter cela me serait d'une grande aide.

  11. #10
    martini_bird

    Re : Recurrence

    En fait je ne comprends pas ta factorisation de la première ligne?
    Il suffit de développer à l'aide de la formule de Newton, et de réarranger un peu la somme double.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  12. #11
    slash89

    Re : Recurrence

    En effet merci j'arrive à la même expression que toi,cependant je ne comprends pas comment t'es venu l'idée de dire que cette somme est toujours nulle sauf si p=alpha?Deplus pourquoi avoir posé que cette somme vaut (1+X)^(alpha-p)*Q ?
    Je comprends tes calculs mais ,je ne vois pas comment tu y a penser en fait.Désolé de te déranger et merci encore.

  13. #12
    Thorin

    Re : Recurrence

    Je suis content que Gods Breath ait le même raisonnement que moi, j'étais frustré de pas avoir plus simple que ça

    Bon maintenant, réponse personnelle à une de tes questions :
    Il faut voir l'égalité que tu dois démontrer comme une égalité entre 2 polynômes...à gauche, le polynôme de valeur constante a!, à gauche, une polynôme à première vue très compliqué.
    Comme c'est cependant un polynôme, on est tenté de le mettre sous la forme ...c'est donc ce qu'on fait.
    Et comme ce polynôme doit être égal à un polynôme constant, il faut absolument que pour tout i plus grand que 1, égal à 0.
    D'où l'égalité.

    Pour la suite, pour moi, ça a été un peu d'intuition, 2-3 essais et pas mal de chance, l'intuition se basant vaguement sur le fait que comme ça s'arrête de valeur 0 quand a-p=0, il serait sympa que (-1) soit une racine de multiplicité (a-p)
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  14. #13
    God's Breath

    Re : Recurrence

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    Je suis content que Gods Breath ait le même raisonnement que moi, j'étais frustré de pas avoir plus simple que ça
    God's Breath n'a fait aucun raisonnement...

    J'ai bien pensé à développer le polynôme .
    Le coefficient de X^k est . Mais je n'ai pas voulu me lancer dans une récurrence.

    J'ai essayé de trouver une méthode directe en utilisant la matrice d'éléments dont la matrice inverse a pour éléments .

    Ce sont les matrices de et dans la base canonique...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  15. #14
    Thorin

    Re : Recurrence

    NB : il me semble, God's Breath, que tu as commis une erreur dans l'expression de ...tu as du multiplier par X puis dériver, alors qu'il faut dériver puis multiplier par X.

    Je trouve :

    Ce qui ne change pas la fin de la démonstration.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  16. #15
    God's Breath

    Re : Recurrence

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    NB : il me semble, God's Breath, que tu as commis une erreur dans l'expression de ...tu as du multiplier par X puis dériver, alors qu'il faut dériver puis multiplier par X.
    Thorin,

    Tu confonds God's Breath et martini_bird...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  17. #16
    Thorin

    Re : Recurrence

    LOL ! effectivement, je n'avais même pas fait attention au pseudo, vu que God's Breath avait posté avant pour demander à expliciter la formule...
    Ce qui rend nettement plus clair le "God's Breath n'a fait aucun raisonnement".

    Toutes mes excuses à vous deux.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  18. #17
    slash89

    Re : Recurrence

    Tout d'abord merci pour toutes vos réponses.Au niveau calculatoire j'ais réussi la recurrence et compris tous les calculs.Mais au niveau du raisonnement pas mal de choses m'echappent dejà. J'ais compris grace à thorin pourquoi vous aviez pensé a dire que pour tout p different de alpha la somme était nulle.
    Mais il me vient 2 questions:

    1/ Pourquoi travailler sur uen somme avec un X quelconque

    et non travailler pour X =-1 directement

    2)Pourquoi utilisé un polynome Qp pour le prouver?


    Je sais que ceq question peuvent vosu paraître bête mais je n'ais pas vraimetn compris et cela m'interesse vraiment.Cordialement

  19. #18
    Thorin

    Re : Recurrence

    Je ne vois pas quoi répondre d'autre que "parce que ça marche"....l'idée est de prouver que (-1) est racine du bon polynôme...pour ça, il faut pouvoir factoriser le polynôme par (X+1) éventuellement à une bonne puissance, d'où l'apparition d'un polynôme "Q", puis de son étude.


    Maintenant, il y a deux choses à distinguer dans ce que tu ne comprends pas, c'est de savoir :
    -si tu ne comprends simplement pas comment d'où vient l'idée de raisonner de cette manière, auquel cas, peu importe, en maths, ya des idées, on se demande parfois comment quelqu'un a bien pu les avoir.
    -si tu ne comprends pas pourquoi le raisonnement est juste, (indépendamment du fait que tu n'aurais pas pensé à faire ça par toi même), ce qui est plus important.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  20. #19
    martini_bird

    Re : Recurrence

    Salut,

    Citation Envoyé par slash89 Voir le message
    1/ Pourquoi travailler sur uen somme avec un X quelconque

    et non travailler pour X =-1 directement
    C'est un truc assez courant pour calculer des sommes comportant des coefficients binomiaux, et c'est finalement assez naturel compte tenu de leur définition (cf. série génératrice). Par exemple, que vaut ?

    Dans notre cas précis, le grand avantage était bien évidemment de pouvoir dériver afin de faire apparaître les .

    2)Pourquoi utilisé un polynome Qp pour le prouver?
    Le polynôme n'a pas vraiment d'intérêt en soi, le principal étant que la somme sus-décrite soit divisible par (1+X), et donc qu'en choisissant X=-1, elle soit nulle comme attendu. Il se trouve que dans le cas , on pouvait de plus utiliser la relation de récurrence entre les pour aboutir au résultat, mais il y avait sûrement d'autres moyens.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  21. #20
    ericcc

    Re : Recurrence

    En fait je partage les interrogations de Slash : voilà une formule qui est, semble-t-il, le préliminaire d'un problème, et que l'on démontre de façon somme toute assez calculatoire.
    Or elle est plutot mystérieuse : une somme de (X-k)nqui devient étrangement constante.
    On imagine qu'il y a certainement une bonne raison pour cela, et que si on trouvait cette bonne raison on aurait une démonstration moins laborieuse...

  22. #21
    martini_bird

    Re : Recurrence

    Salut,

    On imagine qu'il y a certainement une bonne raison pour cela, et que si on trouvait cette bonne raison on aurait une démonstration moins laborieuse...
    Entièrement d'accord. D'où mon préambule : une réponse laborieuse mais une réponse quand même.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  23. #22
    God's Breath

    Re : Recurrence

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    En fait je partage les interrogations de Slash : voilà une formule qui est, semble-t-il, le préliminaire d'un problème, et que l'on démontre de façon somme toute assez calculatoire.
    Or elle est plutot mystérieuse : une somme de (X-k)nqui devient étrangement constante.
    On imagine qu'il y a certainement une bonne raison pour cela, et que si on trouvait cette bonne raison on aurait une démonstration moins laborieuse...
    L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à est un espace vectoriel de dimension .
    La famille en est une base.
    On établit que les coordonnées du polynôme constant dans cette base sont données par .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  24. #23
    ericcc

    Re : Recurrence

    Voilà en tous cas une démo plus élégante...

  25. #24
    God's Breath

    Re : Recurrence

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Voilà en tous cas une démo plus élégante...
    Je démontre seulement l'existence des tels que , ce qui ne donne aucune indication sur une méthode de calcul.
    Je laisse donc le calcul effectif de la valeur des à martini_bird.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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