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Récurrence or not récurrence ??



  1. #1
    MS.11

    Récurrence or not récurrence ??


    ------

    Bonsoir,

    J'ai besoin d'un indice pour savoir comment montrer que :

    3n > ou = 2n + 5n2 pour n >ou= 5

    Dois-je m'y prendre par récurrence ? Voilà où s'arrête ma question...

    Euh non, en fait, elle va un peu plus loin... Dans la première partie de mon exercice, j'ai montré que 3n² > ou = (n+1)² ,pour n > ou = à 3, en étudiant le signe du polynôme de degré 2.

    Cela doit bien servir à quelquechose dans la deuxième partie de l'exercice, mais je ne vois guère où.

    Merci par avance pour votre aide.

    -----
    "Les pierres qui émergent permettent de traverser le cours d'eau. "

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  3. #2
    bongo1981

    Re : Reccurrence or not recurrence ??

    Bah tu as tenté la reccurrence ?

  4. #3
    MS.11

    Re : Reccurrence or not recurrence ??

    Oui j'ai tenté...

    J'ai initialisé pour n=5. Ca marche.

    Je suppose la propriété vraie pour un n quelconque mais je ne vois vraiment pas comment montrer que la propriété est vraie au rang (n+1).

    Un petit indice ? Est- ce que vous pouvez me dire si avoir montré que

    3n² > (ou = ) (n+1)²

    va m'aider pour ma démonstration par récurrence ?

    Merci d'avance pour vos réponses.
    "Les pierres qui émergent permettent de traverser le cours d'eau. "

  5. #4
    bongo1981

    Re : Récurrence or not récurrence ??

    En raisonnant par récurrence, tu dois tomber sur une autre inégalité que tu dois prouver, par récurrence également.

     Cliquez pour afficher

  6. #5
    MS.11

    Re : Récurrence or not récurrence ??

    Euh... j'avoue que j'ai un peu de mal...

    J'admets que 3^n> ou = 2^n + 5n²

    Je dois donc montrer que :

    3^(n+1) > ou = 2^(n+1)+ 5(n+1)²

    mais je vois vraiment pas comment obtenir l'inégalité que je devrais trouver

    de là j'ai 3^(n+1)- 2^(n+1)> ou = 5(n+1)²

    mais rien d'autre...

    A l'aide je rame !!

    Je suis pas loin de couler là.

    Merci de vos réponses
    "Les pierres qui émergent permettent de traverser le cours d'eau. "

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jeanpaul

    Re : Récurrence or not récurrence ??

    Essaye de faire ta récurrence :
    3^n >= 2^n + 5 n²
    tu multiplies par 3 des 2 côtés et tu écris que le terme de droite vaut : :
    2^(n+1) + 5 (n+1)² + une expression dont tu dois étudier le signe.

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  10. #7
    bongo1981

    Re : Récurrence or not récurrence ??

    Tu vérifies que c'est vrai pour n=5
    Tu supposes vraie la proposition :
    Tu es bien d'accord que
    Et après tu déroules...

  11. #8
    MS.11

    Re : Récurrence or not récurrence ??

    Je ne vois toujours pas en multipliant par 3 j'obtiens bien :

    3^(n+1) >= 3 ( 2^n + 5n²)

    c'est bien par là qu'il faut aller ?
    "Les pierres qui émergent permettent de traverser le cours d'eau. "

  12. #9
    bongo1981

    Re : Récurrence or not récurrence ??

    après tu développes et tu essaies de faire apparaître 2^n+1 etc...

  13. #10
    MS.11

    Re : Récurrence or not récurrence ??

    Ca y est c'est fait !! Merci bien !

    Je comprends vite mais il faut m'expliquer longtemps !

    en multipliant par

    3^(n+1) >= 3 ( 2^n + 5n² )
    >= 3/2 * 2^(n+1) + 15n²

    or 15n²>5(n+1)² car on a montré que 3n²>= (n+1)² et après 3/2 2^(n+1) il est supérieur aussi...

    et après c'est plus du calcul c'est de la rédaction...

    Si je me suis pas trompé !
    En tout cas merci à vous 2 bongo et jean paul...
    "Les pierres qui émergent permettent de traverser le cours d'eau. "

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