Récurrence

[invite323995a2]

Bonsoir,

Voilà j'ai eu mon premier cours de math ce matin et déjà des exercices . Je pense que si j'arrive à faire le premier je peux faire les autres mais je cale déjà). Il doit certainement y avoir une erreur.

Voici le sujet: Sn = 1+2 + 2*3 + ... + n(n+1) et Tn= 1/3*n*(n+1)(n+2).
Démontrez que pour tout entier naturel non nul, Sn=Tn.

Bon déja le premier entier naturel est donc 1 est l'initialisation du raisonnement donne bien S1=T1
Sois n un naturel non nul tq Sn=Tn
Pour l'hérédité, on a Sn+1= 1*2+2*3+...+n(n+1)+(n+1)(n+2).
Tn+1= 1/3*(n+1)(n+2)(n+3)

Sn+1= Sn+(n+1)(n+2)
= Tn+ (n+1)(n+2)
= 1/3n* (n+1)(n+2) + (n+1)(n+2)

La je commence à bloquer, je pense qu'il va factoriser par (n+2) mais ça donne: (n+2) * [(1/3n*(n+1)+(n+1)] = (n+2) [(1/3n²+1/3n+n+1] qui n'est pas Tn+1 donc je ne comprends pas!!

Si quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît.
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[Flyingsquirrel]

Salut,

La je commence à bloquer, je pense qu'il va factoriser par (n+2) mais ça donne: (n+2) * [(1/3n*(n+1)+(n+1)] = (n+2) [(1/3n²+1/3n+n+1] qui n'est pas Tn+1 donc je ne comprends pas!!

Si, si c'est bien . Factorise 1/3 dans pour t'en rendre compte : tu dois obtenir . On s'approche du résultat, non ?

Cela dit, vu que l'on veut faire apparaître , je pense qu'il vaut mieux factoriser par plutôt que par tout seul. Le terme apparait ensuite naturellement.

[invite323995a2]

Merci de ton aide en faite j'avais compris le principe ^^. Il y a un deuxième exercice où je bloque mais dans mon cours rien ne m'aide. C'est un peut le même principe surement car il ne s'agit plus de démontrer l'égalité de deux suites mais de démontrer que n! = 1*2*...*n est supérieur à Sn= 2n-1

L'initialisation montre que 1!= 1 et S1= 1

Mais pour l'hérédité je ne sais pas comment faire!!

Merci d'avance!!

Une question qui pourrait peut être m'aider: est ce que 2n+1 - 1 = 2n?

[invite323995a2]

Obtient-on: n!+1 = Sn+1 *(n+1) or comme n>0 (n+1) est supérieur à 1 est par conséquent n!+1 ne peut pas être égal à Sn+1? Il faut prouver que n!+1 supérieur ou égal à Sn+1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite323995a2]

Le petit b c'est U0=0 et pour tout entier naturel n ,
Un+1= Radical de ( Un + 1 ). Et il faut démontrer par récurrece que pour tout n de N, 0< Un< (1+V5) / 2

[Flyingsquirrel]

Une question qui pourrait peut être m'aider: est ce que 2n+1 - 1 = 2n?

Si il ne manque pas de parenthèse dans ton message, oui, . Si il fallait lire dans le membre de gauche, non l'égalité est, en général, fausse.

Obtient-on: n!+1 = Sn+1 *(n+1) or comme n>0 (n+1) est supérieur à 1 est par conséquent n!+1 ne peut pas être égal à Sn+1? Il faut prouver que n!+1 supérieur ou égal à Sn+1

Non. La propriété au rang est . La propriété au rang est donc . Attention à ne pas mettre les "+1" n'importe où. Pour être sûr de ne pas se tromper il suffit de remplacer, dans la propriété au rang , chaque par . (ne surtout pas oublier les parenthèses)


Pour la question "petit b" je peux t'aider mais pas le faire à ta place. Pourquoi bloques-tu ?

[invite1bd64e9e]

Bonjour à tous, moi aussi j'ai le petit b à faire mais je n'arrive pas à l'hérédité, l'initialisation est bonne mais pour la b je trouve 1<U(n+1)<V((3+V5)/2), ce qui correspond à ce que je devrais trouver, mais je n'arrive pas à montrer que c'est égal à (2n+3+V5)/2.
Merci de me répondre au plus vite ! à bientôt

[invite323995a2]

J'arrive à démontrer que 0<Un mais pas que Un< (1+V5)/2

Où je dois chercher ce V5 je ne vois vraiment pas c'est ça mon problème

[Flyingsquirrel]

je trouve 1<U(n+1)<V((3+V5)/2), ce qui correspond à ce que je devrais trouver, mais je n'arrive pas à montrer que c'est égal à (2n+3+V5)/2.

Il vient d'où le terme "2n" ? Ne dois-tu pas plutôt montrer que pour obtenir ?

J'arrive à démontrer que 0<Un mais pas que Un< (1+V5)/2

Où je dois chercher ce V5 je ne vois vraiment pas c'est ça mon problème

L'hypothèse de récurrence est . En ajoutant 1 aux deux membres de l'inégalité on obtient . Ensuite on prend la racine carrée des deux membres de l'inégalité pour faire apparaître à gauche. Il restera alors à prouver que le membre de droite vaut pour obtenir .

[invite1bd64e9e]

Oui voila j'avais fait une bêtise, je trouve V((3+V5)/2), commait poruver que c'est bien le résultat que l'on doit obtenir ?

[Flyingsquirrel]

Oui voila j'avais fait une bêtise, je trouve V((3+V5)/2), commait poruver que c'est bien le résultat que l'on doit obtenir ?

On peut par exemple montrer que puis en déduire l'égalité .