Equation différentielle et fonction enchaînée

[invite428667c9]

Bonjour à tous,

je travaille actuellement sur un exercice d'équation différentielle qui me pose problème dans ses dernières questions.
On pose I = ]0;+infini[ et on considère l'équation différentielle (E) suivante :
f'(x) = f(g(x)) où f est une fonction dérivable sur I, g(x) = a/x, a>0, x appartient à I.

1) déterminer g'(x) et g(g(x))
Je trouve -1/x² et x

2) montrer que f est 2 fois dérivabme sur I et qu'elle vérifie une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 (E') simple
Je justifie par le fait que f(g(x)) est dérivable car f et g dérivables donc f' dérivable donc f 2 fois dérivable. Pour (E') j'ai : x².f''(x)+a.f(x) = 0

3) En recherchant des solutions de (E') sous la forme x^b montrer que l'on obtient la condition
b(b-1) + a = 0
Le résultat se trouve facilement par développement, factorisation et en justifiant que x ne s'annule pas sur I

4) Déterminer une base de solutions de (E') dans les cas a=3/16 et a=2/9
Là je ne suis pas sûr de mon raisonnement. Je dis que la solution à (E') est un espace vectoriel d'ordre 2 (je ne retrouve pas le théorème) et je montre que la fonction q.x^1/4 + p.x^3/4 est solution avec q et p réels (comment montrer que cette les deux puissance de x sont indépendantes)
Idem pour a = 2/9, on trouve des puissances 1/3 et 2/3 pour x.

5) Dans cette question a = 3/16. Déterminer toutes les solutions de (E).
J'ai du mal à faire le lien. A priori, on doit intégrer (E') pour passer à (E) mais de cette façon je ne trouve aucune différence entre ma solution pour (E) et celle pour (E').
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[invite51d17075]

bjr,
Il s'agit du théorème de Cauchy Lipschistz.
les questions 4 et 5 sont différentes.
dans la 4) , on ne demande qu'une base , soit simplement les polynômes x^1/4 et x^3/4.
la 5 ) demande l'ensemble des solutions ( ce que tu proposes déjà dans ta réponse au 4) )

[invite428667c9]

Reçu. Merci pour les explications.
Je vais rechercher à nouveau dans mes cours. J'avais pensé au théorème de Cauchy-Lipschistz mais je ne le formulais pas comme ça. A retravailler donc ou alors à voir dans les corrollaires.

Donc pour la réponse 5, je donne "simplement" la solution générale à (E') j'intègre (E') et je retrouve (E) à une constante près... Mais comment justifier proprement que la solution générale de (E') est solution générale de (E) ?

[invite51d17075]

Ben justement le théorème dit que l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 est un espace vectoriel d'ordre 2.
Il suffit donc de trouver deux fonctions non proportionnelles qui satisfont l'équation.
et ces deux fonctions forment la base de ton espace vectoriel ( il ne peux y en avoir une troisième )

ps : que veux tu dire par j'intègre ? et à quelle constante près.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite428667c9]

Bien reçu pour Cauchy.

Pour la question 5 je pars de (E') :
f''(x).x² + a.f(x) = 0
f''(x) = -a/x² .f(x) = g'(x).f(x)= g'(x).f(g(g(x)))
= g'(x).f'(g(x))
D'où :
f'(x) = f(g(x)) + constante
Donc pas exactement (E)

[invite51d17075]

heuuu !
l'équation initiale E) est :
f'(x)=f(g(x))
On dérive ensuite pour faire apparaitre une équation diff que l'on sait résoudre.
Et maintenant , tu réintègres en faisant apparaitre une constante , alors effectivement ce n'est plus E). ( sauf si la constante est nulle )!!
Hors, il n'y a pas d'autres solutions à E) que celles données par E').
Pourquoi cette manip finale inutile de réintégration ?

[invite428667c9]

J'ai du mal à comprendre pourquoi la solution générale de (E') est nécessairement solution générale de (E).
(E) implique (E') mais pas l'inverse, hors on résout (E').
Je suis désolé si cela te paraît évident, mais ça fqit longtemps que je n'ai pas touché aux maths.

[invite428667c9]

Ou alors je peux dire que f vérifie (E') et (E).
Donc f est l'ensemble des solutions communes aux deux équations. Sachant que j'ai la solution générale de (E'), il suffit que je vérifie qu'elle soit solution de (E) et c'est gagné.
Est-ce juste ?

[invite51d17075]

il suffit que je vérifie qu'elle soit solution de (E) et c'est gagné.
Est-ce juste ?

Oui....si on veut confirmer l'implication inverse.

[raymolk]

Ou alors je peux dire que f vérifie (E') et (E).
Donc f est l'ensemble des solutions communes aux deux équations. Sachant que j'ai la solution générale de (E'), il suffit que je vérifie qu'elle soit solution de (E) et c'est gagné.
Est-ce juste ?

Non, le raisonnement est le suivant : si f est solution de E, alors f est solution de E', et donc f s'écrit (pour a=3/16) : f(x) = px^3/4 + qx^1/4.
Maintenant, pour trouver toutes les solutions de E, qui est un espace vectoriel de dimension 1, il faut trouver une relation entre p et q.
Pour cela, on injecte la formulation en (p,q) dans E, et par implication sur un cas particulier en x, on en déduit la relation cherchée.

D'ailleurs, petite remarque sur ce que tu dis dans ton premier post, pour la question 3) : « en justifiant que x ne s'annule pas sur I ».
Ce n'est pas ça : d'abord x n'est pas une fonction (qui s'annulerait ou pas sur I), mais surtout, 0 pourrait très bien appartenir à I sans que ça n'empêche de déduire la relation cherchée.
Car en injectant f(x)=x^b dans E', tu obtiens b(b-1)x^b-2 = -ax^b-2 pour tout x dans I.
Donc en particulier, en tout x différent de 0 fixé, on peut diviser par x^b-2 et obtenir b(b-1) + a = 0.
Mais on aurait simplement pu choisir x=1 et obtenir le même résultat.

[invite51d17075]

correction bien venue, grosse boulette de ma part....