Construction des nombres réels

[Croustimiel]

Bonjour tout le monde,

Je suis étudiant en M2 - Philo des sciences.
Je n'ai pas de formation mathématique et je dois rendre, malgré tout, un devoir sur la construction des nombres réels.
Je compte bien me débrouiller tout seul, mais j'ai certainement besoin d'aide... J'ai déjà quelques questions à poser !
Est-ce le genre de choses que l'on fait sur ce forum ? Je ne veux pas poster un message inapproprié / au mauvais endroit.

Mais si cela vous convient, je peux commencer tout de suite avec des questions sémantiques pour ne pas de faire de hors-sujet.

* Construire, c'est synonyme de définir ? Trouver une méthode pour construire les nombres réels, c'est leur trouver une définition rigoureuse ? Ou bien ces termes ne sont pas interchangeables ?
* Construire un nombre, c'est ce qui permet de trouver toutes ses décimales ? Par exemple, une méthode de construction de Pi permet d'écrire tous les chiffres après la virgule ? Ou bien ce n'est pas la même chose, et là, on ne parle pas de construction ?

Pour le moment, voici le plan que je pense faire :
1) Contexte historique ; importance de construire les nombres réels avec la montée de l'analyse au 18e / 19e (mon cours est "une histoire de l'analyse").
2) Méthode de Weierstrass, pour construire les irrationnels "par agrégats".
3) Méthode de Dedekind, celles "des coupures", pour construire les réels
4) Méthode de Cauchy, celle limites, pour construire les réels.

Je voudrais aussi mentionner la critique de Dedekind faite par Bertrand Russell dans "Introduction à la philosophie mathématique".
Pour l'instant je ne la comprends pas vraiment... Mais je vais m'y pencher plus attentivement.

Merci pour tout, à très vite !
-----

[Médiat]

Bonjour,

Construire un nombre réel (trouver ses décimales est différent de construire les nombres réels.

Voici quelques exemples de construction des réels :
1) Constructions Usuelles.
i) Construction de Simon Stevin.
ii) Coupures de Dedekind.
iii) Suites de Cauchy.
2) Methodes Axiomatiques.
i) Axiomatique Usuelle.
ii) Axiomatique de Tarski.
3) Suites Particulieres.
i) Fractions Continues. (et le Resume)
ii) Methode Generale.
iii) Serie de Engel.
iv) Series de Pierce.
v) Serie de Sylvester.
vi) Series Alternees de Sylvester.
vii) Serie de Luroth.
viii) Series Alternees de Luroth.
ix) Serie de Knopfmacher.
x) Produit de Cantor.
xi) Produit Alterne de Cantor.
xii) Produit Negatif de Cantor.
xiii) Serie Binaire.
4) Developpement Decimal.
i) Construction de Rota.
ii) Autres Methodes Decimales.
5) A partir de la soustraction.
i) Construction de de Bruijn a partir de la soustraction.
ii) Construction de Udding a partir de la soustraction.
6) Constructions a partir d'intervalles rationnels.
i) Methode des intervalles rationnels imbriques.
ii) Filtres de Cauchy rationnels.
7) Constructions a partir de suites.
i) Suites non decroissantes de rationnels positifs.
ii) Methode a partir de la serie harmonique (Shiu).
iii) Generalisation de la methode de Shiu.
8) Autres Constructions.
i) Quasi-endomorphismes.
ii) Methode de Weierstrass.
iii) Variation sur les coupures de Dedekind.
iv) Completion de MacNeille.
v) Construction a base de Recouvrements.
vi) Construction a partir des Nombres Surreels.
vii) Construction a partir des Nombres Hyperrationnels.

[gg0]

Bonjour.

C'est bien le bon endroit, mais si tu peux compléter par des textes d'histoire et d'épistémologie, ce sera mieux pour toi (ici, on va être assez technique !).
"Construire" est bien, en maths, synonyme de définir, mais dans le sens obtenir un objet fabriqué avec les objets déjà donnés et qui correspond à l'idée qu'on s'en fait. Par exemple, on construit les nombres entiers en théorie des ensembles avec des ensembles :
La suite est simplement , donc des ensembles à 0, 1, 2, 3 éléments, qu'on va appeler 0, 1, 2 et 3, puis on définira les opérations (on les construira) par des calculs ensemblistes.
Pour les nombres réels, il y a différentes façons de faire à partir des nombres rationnels; la plus simple, pour qui a peu de connaissances en maths, est celle de Dedekind, par les "coupures". On obtient des choses différentes, mais ce qui compte est de retrouver les calculs qu'on fait avec les nombres et de pouvoir identifier une partie des réels comme étant les rationnels qu'on connaît.

Tout ça n'a rien à voir avec l'écriture en base 10 des nombres, ce que tu appelles les décimales. On connaît très bien des tas de nombres sans être capable de détailler leurs décimales. Et on va construire tous les réels à la fois. Calculer la 2 milliardième décimale de Pi est une question de calcul, mais Pi est un nombre bien connu.

J'ai vu ton plan, je ne connais pas la méthode de Weierstrass, j'espère qu'elle est accessible pour toi. La méthode de Cauchy n'est pas basée sur des limites, mais sur des suites (des "suites de Cauchy), et des classes d'équivalence (on réunit en un seul ensemble toutes les suites de Cauchy de rationnels qui vérifient un certain critère (*) et cet ensemble est un nombre réel).

Cordialement.

(*) intuitivement, elles ont la même limite dans R, mais on ne calcule pas cette limite.

[Croustimiel]

Merci pour vos réponses (ultra) rapides !
Je vais me plonger plus profondément dans le devoir demain.

J'aurai sûrement des questions plus précises pour la suite. Je viendrai vous les soumettre

Je précise tout de même : c'est seulement un devoir de 10 / 15 pages, pour une seule matière, dans un Master beaucoup plus généraliste.
Donc c'est relativement court, je ne pourrai pas détailler toutes les méthodes. Je me concentrerai sur les principales. J'ai l'impression que c'est Dedekind et Cauchy.

Par ailleurs, je pense aborder la question de façon plus "philosophique" que technique (de toutes façons, j'en aurais pas les moyens).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Matmat]

* Construire, c'est synonyme de définir ? Trouver une méthode pour construire les nombres réels, c'est leur trouver une définition rigoureuse ? Ou bien ces termes ne sont pas interchangeables ?
* Construire un nombre, c'est ce qui permet de trouver toutes ses décimales ? Par exemple, une méthode de construction de Pi permet d'écrire tous les chiffres après la virgule ? Ou bien ce n'est pas la même chose, et là, on ne parle pas de construction ?

C'est presque la première phrase, une construction est une définition mais ce n'est pas synonyme (une définition peut très bien ne pas être une construction).
Un exemple évident c'est la construction de Q , où tout le monde a été d'accord dés le départ, on prend deux naturels et on divise l'un par l'autre (non nul) c'est simple : Q est définit par sa construction .
Par contre les irrationnels ça à été une tout autre histoire, comme le montre la longue liste de Médiat !

[pm42]

1) Constructions Usuelles.
i) Construction de Simon Stevin.
ii) Coupures de Dedekind.
iii) Suites de Cauchy.
2) Methodes Axiomatiques.
i) Axiomatique Usuelle.
ii) Axiomatique de Tarski.
3) Suites Particulieres.
i) Fractions Continues. (et le Resume)
ii) Methode Generale.
iii) Serie de Engel.
iv) Series de Pierce.
v) Serie de Sylvester.
vi) Series Alternees de Sylvester.
vii) Serie de Luroth.
viii) Series Alternees de Luroth.
ix) Serie de Knopfmacher.
x) Produit de Cantor.
xi) Produit Alterne de Cantor.
xii) Produit Negatif de Cantor.
xiii) Serie Binaire.
4) Developpement Decimal.
i) Construction de Rota.
ii) Autres Methodes Decimales.
5) A partir de la soustraction.
i) Construction de de Bruijn a partir de la soustraction.
ii) Construction de Udding a partir de la soustraction.
6) Constructions a partir d'intervalles rationnels.
i) Methode des intervalles rationnels imbriques.
ii) Filtres de Cauchy rationnels.
7) Constructions a partir de suites.
i) Suites non decroissantes de rationnels positifs.
ii) Methode a partir de la serie harmonique (Shiu).
iii) Generalisation de la methode de Shiu.
8) Autres Constructions.
i) Quasi-endomorphismes.
ii) Methode de Weierstrass.
iii) Variation sur les coupures de Dedekind.
iv) Completion de MacNeille.
v) Construction a base de Recouvrements.
vi) Construction a partir des Nombres Surreels.
vii) Construction a partir des Nombres Hyperrationnels.

Respect...

[Médiat]

pm42 :

reels.pdf

[minushabens]

JJe me concentrerai sur les principales. J'ai l'impression que c'est Dedekind et Cauchy.

remarque que si Dedekind est l'auteur d'un article sur la construction des réels à partir des rationnels, Cauchy n'a pas directement proposé de méthode de construction des réels, à son époque la question ne se posait pas. Cette construction utilise la notion de suite de Cauchy mais c'est tout.

[raymolk]

Puisqu'il s'agit de traiter les aspects plus philosophiques que techniques, peut-être pourrais-tu mentionner le point de vue de René Thom sur « l'antériorité ontologique du continu sur le discret », selon ses propres termes apparemment : https://studylibfr.com/doc/5060726/l...phie-cognitive (p. 13)
Le continu correspond aux nombres réels, et le discret aux nombres entiers : Thom proposait en gros d'inverser la démarche habituelle de construction des réels à partir des entiers, considérés généralement comme les objets intuitifs élémentaires dont il faut partir, pour partir au contraire d'un continu intuitif dont on déduirait le discret.
Je ne me souviens plus où je l'ai lu (peut-être un numéro de la gazette des mathématiciens) mais je crois que Thom avait même mis au point une telle construction, en la poussant jusqu'au bout.
Bref, tu peux peut-être trouver des choses intéressantes là-dessus, mais en cherchant plutôt avec les mots-clefs « René Thom discret continu » que « René Thom nombres réels » à priori.

[ansset]

bjr, je trouve cette vidéo ( peut être trop basique ) assez pédagogique historiquement. ( intro du sujet ? )
- les nb rationnels et irrationnels ( époque Grèce )
- la représentation décimale par Stevin ( vers 1600 ) de tout nombre.
- la construction des réels ( ici avec l'approche de Dedekin )
http://fadagogo.com/histoires/html/reels.html

[Tryss2]

Pour la différence entre définir et construire, les nombres réels sont une bonne illustration.

Il y a des définition de l'ensemble des nombres réels constructives (tu as de nombreux exemples plus haut), mais on peut définir l'ensemble des nombres réelles de façon non constructive (axiomatique) :

Définition : L'ensemble des nombres réels est (à isomorphisme prêt), l'unique corps qui est totalement ordonné, archimédien et complet.

Reste ensuite à démontrer que cette définition défini bien un objet qui existe

[raymolk]

Concernant ce que je disais en #9, je n'arrive pas à retrouver cette mention d'une construction effective par René Thom des entiers à partir des réels, après avoir inspecté ce dont je dispose au format papier (notamment les gazettes), et cherché à nouveau sur le web.
On trouve bien quelques pdfs qui évoquent plus ou moins profondément le sujet :
http://www.numdam.org/article/SPHM_1982___3_A1_0.pdf
http://gaogoa.free.fr/HTML/Textes/Le...r%20R.THOM.pdf
http://gaogoa.free.fr/HTML/Textes/Re...20a%20Thom.pdf
mais pas cette construction, ni même sa mention (à moins que j'ai mal regardé, car je n'ai pas tout lu en détail non plus).
Donc si quelqu'un avait une source à partager sur le sujet, je lui en serais reconnaissant

[ansset]

bjr,
Il me semble ( pas certain ) que tu fais indirectement référence à ses travaux sur la "théorie des catastrophes":
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...s_catastrophes.
citation de sa part ( dans l'article ):
« […] l'essence de la théorie des catastrophes c'est de ramener les discontinuités apparentes à la manifestation d'une évolution lente sous-jacente. Le problème est alors de déterminer cette évolution lente qui, elle, exige en général l'introduction de nouvelles dimensions, de nouveaux paramètres. » — René Thom (1991)

Mais cela me semble assez éloigné du cas particulier nb réels/nb entiers et donc du devoir de Croustimiel.

[raymolk]

C'est probablement à base de ça, oui, mais je suis sûr d'avoir lu quelque part quelque chose de plus précis.
Mais bon tant pis, car on s'éloigne effectivement du sujet de départ.

[ansset]

C'est probablement à base de ça, oui, mais je suis sûr d'avoir lu quelque part quelque chose de plus précis.
Mais bon tant pis, car on s'éloigne effectivement du sujet de départ.

c'est possible, sachant son parcours de mathématicien.
mais j'ai cherché sur ce point précis et pas trouvé non plus.
Cdt

[Croustimiel]

Bonjour tout le monde,

Encore merci pour vos réponses nombreuses et rapides. Les références à René Thom, c'est chouette : ça ferait une belle ouverture en conclusion.

Pour l'instant j'ai fait l'intro et le contexte historique.
J'ai déjà de nouvelles questions... Certains points ne sont pas clairs pour moi.

* Pourquoi R est-il indispensable à l'analyse mathématique ? Intuitivement, je voulais dire que les fonctions étaient des objets continus, et donc, qu'elle devaient se travailler dans un ensemble continu (complet). Mais il semblerait que ce soit faux. On travaillait déjà, au XIXe, sur des fonctions discontinues en certains points... Alors ?
* Tryss me dit qu'il existe des définitions constructives, et des définitions axiomatiques. Le programme des logiciens (Bertrand Russell) correspond à la deuxième option ?

Pour l'instant, je m'aide beaucoup du livre "La construction des nombres réels", de Jacqueline Boniface.
Je pense avoir compris, plus ou moins, la façon dont Bolzano et Weierstrass ont posé certaines bases.
Après, je passe à Dedekind et Cantor.

[minushabens]

Pourquoi R est-il indispensable à l'analyse mathématique ?

parce qu'il est "complet", ce que n'est pas Q. Le fait que R soit complet dit que certaines suites ont une limite. C'est très utilie en Analyse parce que souvent on ne sait pas écrire l'expression d'une fonction, par exemple solution d'une équation différentielle, mais on sait construire une série de fonctions qui l'approxime et on a besoin que cette série converge.

[pm42]

parce qu'il est "complet", ce que n'est pas Q

Et parce que c'est dommage de se passer de racine de 2, pi, e et de toutes les fonctions qui vont avec.

[Médiat]

Sachant que les physiciens n'utilisent qu'un petit nombre d'entiers (à un facteur multiplicatif près) à la paillasse

[raymolk]

Pourquoi R est-il indispensable à l'analyse mathématique ?

Si tu reprends la vidéo citée par ansset en #10, tu as une excellente raison : l'apparition naturelle des irrationnels, dans son contexte historique, via .

[Deedee81]

Salut,

René Thom j'ai cherché aussi en regardant toutes ses oublications (livres et articles) mais rien. Mais il se peut que ça m'ait échappé ou qu'il n'y ait pas eut de publication "officielle".

Si tu reprends la vidéo citée par ansset en #10, tu as une excellente raison : l'apparition naturelle des irrationnels, dans son contexte historique, via .

Pour les mathématiques, oui, mais en physique c'est différent. Rien ne dit (dans le raisonnement Pythagoricien) que l’hypoténuse ainsi remarquée soit vraiment une réalité physique (mais on doit alors admettre que la géométrie pourrait être non euclidienne et évidemment, ce n'est pas les Pythagoricien qui auraient pu penser à ça, surtout qu'Euclide n'était pas encore né )

Et on pourrait très bien se contenter d'une approximation rationnelle.

La raison en réalité en physique est l'usage de l'analyse et ses puissants théorèmes/outils. Je connais pleins de développements en physique théorique qui seraient cauchemardesques sans l'analyse. En fait, dès qu'on voit poindre une intégrale ou une différentielle ou une dérivée partielle.... Et l'analyse et les réels, c'est presque des frères siamois.

EDIT a misère, en fait c'est pas à ça que tu répondais. Bon, mon explication reste juste, je la laisse, mais là j'ai mal visé. Désolé.
Fatigue du vendredi

[Croustimiel]

Merci pour cette réponde minushabens.
J'aimerais une petite précision.

Dans un ensemble complet, "certaines suites ont une limite". Quelles suites ? Les suites de Cauchy (ou rien à voir) ?

[gg0]

Oui, les suites de Cauchy.

Cordialement.

[Croustimiel]

Bonjour tout le monde,

J'ai terminé le devoir !
Il fait 8 pages. Il faudra que j'étoffe un peu.
Je pense avoir dit l'essentiel. Je me suis beaucoup aidé de mes lectures, et parfois, j'ai "recopié/reformulé" des passages un peu compliqués... J'espère n'avoir pas fait de contresens ou de grosses bourdes. Notamment, la construction de Cantor et le passage sur Russell et le programme logicien me laissent un peu dans le flou...

Si quelqu'un veut voir le devoir, par curiosité, je peux lui envoyer un lien.
Mais je me doute aussi que vous avez d'autres chats à fouetter !

Merci en tout cas, vous m'avez donné des idées, et quelques bonnes définitions de base. C'était utile pour démarrer !

[Médiat]

Bonsoir

Vous pouvez poster votre document ici ...

[Croustimiel]

Alors voici le lien du devoir : https://docs.google.com/document/d/1...it?usp=sharing
Pour éviter les bourdes ou les suppressions accidentelles, j'ai seulement activé les commentaires (il n'est pas possible d'écrire directement dans le devoir).

Après une bonne relecture, deux questions me "sautent aux yeux".

1) Bertrand Russell critique Dedekind... mais ce faisant, il fait référence aux suites convergentes. J'ai cru que la notion de coupure n'utilisait pas la notion de suite ? Que ça, c'était la méthode dite "de Cantor" ?
2) D'ailleurs, je ne suis pas certain d'avoir compris la méthode de Cantor. J'explique qu'il crée les ensembles A, B, et C. Je fais une supposition sur l'utilité de C. Mais je me demande si je n'ai pas joué aux devinettes.

Voilà !

[Matmat]

Si Russell fait référence aux suites convergentes c'est soit à la méthode de Cantor soit celle de Cauchy , mais certainement pas à celle de Dedekind . Ceci dit, je n'ai pas compris la "critique" , la citation est difficile à comprendre hors contexte.

Tu as situé les travaux de Bolzano et Weiertrass bien trop tôt dans l'histoire .

[Croustimiel]

Pour ceux que cela intéresse, je copie-colle le passage où Bertrand Russell construit les nombres réels (et critique Dedekind en même temps).
Je dirais que ça commence à "Ainsi, aucune fraction n'exprime..."

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Je suis désolé je ne comprends pas pourquoi les deux pages sont à l'horizontal. Chez moi, elles sont droites...

[Croustimiel]

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[Deedee81]

Salut,

Je suis désolé je ne comprends pas pourquoi les deux pages sont à l'horizontal. Chez moi, elles sont droites...

Je n'ai jamais compris pourquoi ça fait ça !!!!

Dit, j'espère qu'il n'y a quand même pas un soucis de droit d'auteur là, c'est quand même un gros passage que tu donnes.