polynôme

[inviteee0b86d2]

Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exo:
Montrer qu'il existe une suite unique Qn de K[X],à coefficients entiers, telle que pour tout x appartenant à K* et pour tout n de N : x^n+1/x^n=Qn(y), où y =x+1/x et deg Qn=n (on en profitera pour écrire une relation de récurrence entre Qn, Qn+1 et Qn+2)
Ne voyant pas trop la relation de récurrence, j'ai cherché à calculer les premiers polynômes Q et je trouve:
Q0=2
Q1=X
Q2=X²-2
Q3=X^3-3X
Q4=X^4-4X²+2
mais je ne vois toujours pas...
Merci d'avance pour votre aide
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[invite5c27c063]

La relation de récurrence me semble assez visible avec les premiers termes que tu as calculé (Par exemple, regarde par quoi il faudrait multiplier Q1 pour obtenir le terme de plus haut degré de Q2 et ce qu'il faut faire de Q0 pour tomber sur Q2).

Au brouillon, tu vérifie que ta relation de récurrence est valable pour tout n. On développe une expression, des termes apparaissent, se simplifient etc...

Pour rédiger proprement, on procède par analyse/synthèse :
Analyse
On suppose disposer d'un polynome Qn+2 qui convient. On écrit la relation qu'il doit respecter. On introduit les termes qui se simplifient et on fait apparaitre Qn+1 et Qn. D'où l'unicité de la solution, si elle existe

Synthèse
On vérifie que la solution proposée convient (c'est la même vérif que celle faite précédemment au brouillon...)

Désolé si c'est un peu alambiqué mais sinon je te crache direct le morceau...
N'hésite pas à réécrire si tu as des problèmes

[inviteee0b86d2]

Merci, j'ai trouvé la relation de récurrence
Qn+2=Qn+1X-Qn

[inviteee0b86d2]

Par contre je n'arrive pas à montrer que cette relation est vraie pour tout n..., je sais que c'est vrai pour n=0 puisque j'ai construit mon hypothèse de récurrence comme ça, mais pour l'hérédité, je n'y arrive pas...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c27c063]

Si tu supposes vraie la relation jusqu'au rang n+1, tu calcules et tu vois apparaître

Tu viens alors de montrer que la relation est vraie au rang n+2, donc pour tout n. On vient de montrer l'existence d'une suite de polynôme qui convient.

[invite0f0e1321]

Merci beaucoup mais je n'arrive pas à trouver que yQn+1(y)-Qn(y)=Qn+2(y)...

[invite5c27c063]

Et ben...

par hypothèse de récurrence, même tarif pour
on pose , on développe et ça tombe tout seul, non ?