Espace hermitien - Pythagore

[invite616a69c2]

Bonjour,

Toujours embétée pour comprendre l'algèbre, je dois démontrer le fameux Théorème de Pythagore dans un espace hermitien de dimension n.
Si les vecteurs x et y sont orthogonaux, alors on a .

Le théorème est vérifié car et si x et y sont orthogonaux alors donc

Maintenant, la réciproque est fausse, je le sais mais je ne vois plus pourquoi!!!
implique c'est à dire .
Et je ne sais plus pourquoi c'est une contradiction!! Est ce juste parce que le produit scalaire est réel???

Merci de vos réponses.

Amanda
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[invited7441b93]

Ce n' est pas une contradiction.
Un contre-exemple le produit scalaire complexe usuel avec 1 et i:ils verifient la relation de pythagore mais ne sont pas orthogonaux.

[invite616a69c2]

Même si je suis en dimension n je peux sortir ce contre exemple?

[invited7441b93]

Il faut juste trouver deux vecteurs dont le produit scalaire est imaginaire pur (non nul).Soit x et y tels que a=<x,y> soit non nul alors (1+exp(-2iarg(a)))x et y doivent convenir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite616a69c2]

Plus simplement, je peux donner les vecteurs x=(1,0,0,...,0) et y=(0,i,0,...,0), est ce juste?

[invited7441b93]

non,ils sont orthogonaux.
Mais même en dimension finie il faut un exemple général.Imagine un espace de polynômes ou autres.
Dans C^n (1,0,....0) et (i,0,...,0) conviennent.

[invite616a69c2]

Oui oui pardon je m'étais trompée, c'était pour voir si j'avais compris le principe.
Merci beaucoup du temps que tu m'as accordé.
Bonne soirée.