Equation de droite, paramétrage...

[invite56b437b2]

Bonjour j'ai un exercice de maths mais je n'y arrive pas trop ! Pourriez-vous m'aider ?
Enoncé:
1.Vérifier que le système d'équations: x=1 et y+z=2 est une droite D de R³. Déterminer un vecteur directeur de cette droite ainsi qu'une représentation paramétrique.
2. On conisdère le plan P représenté paramétriquement par:
x=2+t
y=3-t+s
z=1+2t-s
Donner une équation cartésienne de ce plan P.
3.Déterminer l'intersection de la droite D et du plan P.


Alors ce que j'ai fait:

1.Addition de x=1 et de y+z=2 ce qui donne x+y+z=3 mais on retrouve l'équation d'un plan de type ax+by+cz+d=0 non ?

2.J'ai éliminé les "s" et les "t" et j'ai trouvé -x+y+z-2=0 est ce que c'est bon ?

3.x=1
y+z=2
-x+y+z-2=0

x=1
y+z=2
x=0 ( car y+z=2)

Donc "x" ne peut pas être à la fois egal à 1 et à 0 donc l'intersection de la droite et du plan et l'ensemble vide.
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[invitefa064e43]

Alors ce que j'ai fait:

1.Addition de x=1 et de y+z=2 ce qui donne x+y+z=3 mais on retrouve l'équation d'un plan de type ax+by+cz+d=0 non ?

attention, l'équation que tu obtiens n'est pas *équivalente* au système d'équations que tu obtiens.

le système oblige à ce que "x+y+z=3", mais les solutions de "x+y+z=3" ne sont pas forcément des solutions de ton système.

Par exemple, le point (0; 0; 3) est sur le plan d'équation x+y+z=3.

mais il n'est pas solution de ton système de départ. (car x ne fait pas 1 par exemple).

en faisant une addition et en remplaçant les deux équations du système par le résultat de l'addition tu perds des informations (tu rajoutes artificiellement des solutions).


tu dois plutot voir tes deux équations de ton système comme les équations de deux plans. le plan 1x+0y+0z-1=0 et le plan 0x+1y+1z-2=0

Les solutions du système sont donc les points qui sont à la fois sur le premier plan et sur le deuxième : c'est l'intersection des deux.
Et qu'est-ce que l'intersection de deux plans ?


Ensuite pour trouver une vecteur directeur il suffit de connaitre deux points...

2.J'ai éliminé les "s" et les "t" et j'ai trouvé -x+y+z-2=0 est ce que c'est bon ?

je n'ai pas vérifié mais c'est le bon principe.

3.x=1
y+z=2
-x+y+z-2=0

x=1
y+z=2
x=0 ( car y+z=2)

Donc "x" ne peut pas être à la fois egal à 1 et à 0 donc l'intersection de la droite et du plan et l'ensemble vide.

la je pense que ça doit être faux sans même vérifier quoi que ce soit (pour les même raisons qu'à l'exercice 1)

lorsque tu cherches l'intersection d'une droite et d'un plan, utilises plutôt l'équation paramétrique de la droite (à trouver grâce aux infos de l'ex. 1) avec l'équation cartésienne du plan.

[invite56b437b2]

Merci de m'avoir répondu =].
POur la question 1. il faut montrer que le système d'équation est bien une droite alors si j'ai compris ce que tu as dit les deux équations sont celles de deux plans et comme on cherche à le résoudre, l'intersection de ces deux plans est une droite ?! ( un peu flou =/)
Ensuite pour le vecteur directeur je sais que c'est (-b,a) mais il faudrait que je transforme le système d'équation mais je n'y arrive pas ( j'aimerais faire sa si c'est possible)
ou comme tu disais prendre deux points qui "marche" avec le système calculer les coordonnées du veteur directeur ensuite

Puis pour la question 3 je pense que sa doit être juste sa...

[invitefa064e43]

alors je reprends la logique :

l'ensemble des solutions de l'équation x=1, c'est un plan. Les points qui sont solutionss de cette équation sont ceux qui sont sur le plan x=1 . (c'est pour ça qu'on dit que cette équation "est un plan"). Par exemple (1, 0, 0) , (1,1,0), (1,0,1) etc... si on dessinait tous les points solution de "x=1" on dessinerai un plan. (je me répète hein :P )

De même avec l'autre équation y+z=2. Les solutions sont les points sur ce plan.

Lorsqu'on a un système d'équation, les solutions sont les points qui fonctionnent en même temps dans le deux équations. Ce sont les points qui sont à la fois solution de la première et solution de la deuxième. Autrement dit, ce sont les points qui sont à la fois sur le premier plan, et à la fois sur le deuxième : ce sont les points d'intersection entre les deux points, et ça c'est une droite.

C'est pour ça que dans l'espace à 3 dimensions, on dit que les deux équations ensembles sont celles d'une (et une seule) droite.

ça c'était pour mieux expliquer le principe.

Ensuite pour obtenir 2 points, et bien c'est assez facile.

Tu sais que tes points ont leur x qui fait 1. (par l'équation "x=1")

cherche à savoir le y et le z.
Ils doivent juste satisfaire l'équation y+z=2. A toi de trouver deux y et z qui fonctionnent ensemble, c'est facile. Il y a une infinité de possibilités.

Ensuite pour la question 3 je ne vois pas comment tu as pu faire juste. puisque tu n'as pas compris comment faire marcher les équations : l'addition de plusieurs équations n'est pas bonne.

Utilises l'équation paramétrique de la droite (avec vecteur directeur et position)

[A voir en vidéo sur Futura]