Equation différentielle incomplette

[invitee75a2d43]

Bonjour, cela fait des heures que j´essaie de résoudre l´E.D suivante:

2yy" + y² - y´² = 0

Dans le corrigé, on me donne les instructions suivantes:

Poser d´abord y´= z puis t = z/y.

Effectivement, comme la variable x manque, on doit poser y´= z, c´est ce que je fait. J´appelle z´= dz/dy, j´ai donc y" = z´z. Après les calculs (que j´espère) adéquats, j´arrive à la nouvelle équation:

2yz´z + y² -z² = 0

À partir de là je pose (comme on me dit de faire) t / z/y, donc z = ty, je calcule z´en conséquence et j´arrive à l´équation suivante:

2ytt´+ 1 + t² = 0.

Mon résultat en fonction de t est alors:

y = a/(t²+1)

C´est à partir de là que je suis paumé car en remplaçant t par z/y puis z par y´, j´arrive à l´équation suivante:

y´² + y² -ay = 0

Dans le corrigé, ils donnent le résultat final suivant:

y = a(1-cos(x-c)).

Mais je vois pas du tout comment ils en arrivent là.

Merci d´avance

Christophe
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Dans le plan de phase, en coordonnées , l'équation :

est celle d'un cercle, et il faut trouver la loi horaire.

Une représentation paramétrique du cercle est :

La première équation fournit : .

Par comparaison avec la seconde équation : , on déduit : , et l'existence d'une constante telle que : .

On obtient finalement : en posant : .

Mais on a le facteur dans , et pas simplement .

[invitee75a2d43]

Merci Gods Breath, j´aurais cherché longtemps et je ne serais jamais arrivé à cette méthode.

[invite57a1e779]

C'est la méthode usuelle pour les équations incomplètes du premier ordre : on résout en utilisant une représentation paramétrique de la courbe définie par l'équation différentielle dans le plan de phases.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

encore une question (certainement trés profane): Y a-t-il une définition d´un plan de phase?

[invite57a1e779]

Le plan de phase est le plan dans lequel on décrit les solutions de l'équation différentielles via les arcs paramétrés .

Voir cette page.