Calcul de matrices à la puissance n

[invitea8b8e1ae]

Bonjour,

J'ai un exercice sur les matrices, on donne en ligne:
A=(0 1 1, -1 0 0, -1 0 0) et B=(0 0 1, 0 0 1, -1 -1 0)
On demande de calculer A², A³, B² et B³, je trouve :
A²=(-2 0 0, 0 -1 -1, 0 -1 -1)
A³=(0 -2 -2, 2 0 0, 2 0 0)
B²=(-1 -1 0, -1 -1 0, 0 0 -2)
B³=(0 0 -2, 0 0 -2, 2 2 0)
On constate que A³=-2A et que B³=-2B.
De même :
A⁵=4A
A⁷=-6A
A⁹=8A
et
B⁵=4B
B⁷=-6B
B⁹=8B

Comment exprimer Aⁿ et Bⁿ pour n impair (n pair étant le même principe avec des multiples de A²)?
C'est l'alternance des signes qui me pose problème...

Merci d'avance de votre aide
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Si j'ai bien compris : et .

Il semblerait que l'on ait : , relation que l'on peut prouver par récurrence.

[invitea8b8e1ae]

Ha oui en effet il y a cette relation, mais comment as tu fait pour la trouver ?

(J'avais pas pensé au (-1)^n pour l'atrenance des signes, merci)

D'autre part avec ta formule on ne distingue pas les cas où n est pair et où n est impair...
Et la puissance de A est toujours impair...

[invite57a1e779]

Comment exprimer Aⁿ et Bⁿ pour n impair (n pair étant le même principe avec des multiples de A²)?

La question étant posée pour un exposant impair, je l'écris 2n+1; les valeurs données invitent à conjecturer que le coefficient de A dans A²ⁿ⁺¹ est 2n ; il est archi-classique d'obtenir l'alternance de signe avec un facteur (-1)ⁿ ou (-1)ⁿ⁺¹, et un essai aiguille vers le bon choix.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea8b8e1ae]

Puis-je écrire ainsi ?

Pour n impair :
posons : n=2t+1 --> t=(n-1)/2
remplaçons dans ta formule : A^n=[(-1)^((n-1)/2)]*(n-1)A

et trouver une formule similaire pour n pair en remplaçant A par A²...

[invite57a1e779]

M'enfin !!!
Pour un exposant pair : A²ⁿ = A^2n-1A.

[invitea8b8e1ae]

Pour un exposant pair : A²ⁿ = A^2n-1A.

Ba oui mais sa c'est tout bête, c'est quand même pas sa qui est demandé ?!

Voici l'énoncé exact :
Calculer A² et A³ ainsi que B² et B³. Vérifier que A³=-2A et que B³=-2B. Calculer Aⁿ et Bⁿ (on distinguera les cas n pair et n impair).

Moi je comprend qu'il faut trouver une relation
Aⁿ=xA pour n impair
Aⁿ=yA pour n pair
et idem pour B