coordonnées polaires dans une équation différentielle

[invitee75a2d43]

Bonjour, je me penche en ce moment sur les équations différentielles et j´ai quelques exos où je dois passer coordonnées polaires et je ne vois vraiment pas comment faire. Voilà un exemple concret:

(3 x² + y²)y + (y² - x²)xy´= 0

Si je pose x = r.cos(t) et y = r.sin(t), ben.... les r s´éliminent et je me retrouve avec une équation qu´avec des sin(t) et des cos(t). On me donne le résultat dans le corrigé mais sans aucune explication. Donc si quelqu´un pouvait m´expliquer....

Merci d´avance

Christophe
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[invite0fa82544]

Bonjour, je me penche en ce moment sur les équations différentielles et j´ai quelques exos où je dois passer coordonnées polaires et je ne vois vraiment pas comment faire. Voilà un exemple concret:

(3 x² + y²)y + (y² - x²)xy´= 0

Si je pose x = r.cos(t) et y = r.sin(t), ben.... les r s´éliminent et je me retrouve avec une équation qu´avec des sin(t) et des cos(t). On me donne le résultat dans le corrigé mais sans aucune explication. Donc si quelqu´un pouvait m´expliquer....

Merci d´avance

Christophe

r ne s'élimine pas pour deux raisons :
a) le premier terme est homogène à , le second à .
b) quand on dérive , il apparaît un terme en

[invitee75a2d43]

Désolé, de toute évidence je ne sais pas manipuler les coordonnées polaires. D´après ce que je comprend, je dois passer d´une équation en x et y à une équation en r et t. Ce qu´on appelle y´est en fait dy/dx et ce qu´on appelle r´ est dr/dt.

Armen92, tu dis que le premier terme est homogène à r³ et le deuxième à r⁴, je ne vois pas comment le second terme est homogène à r⁴ car j´ai:

[y² - x²]xy´= r³[sin(t)² - cos(t)²]cos(t)y´

Quant-à y´= dy/dx, je dois le transformer en éliminant les termes en x et y:
dy/dx = (dy/dr).(dr/dt).(dt/dx) = sin(t). r´. (-1/r.sint) et au bout du compte il me reste y´= -r´...

Qu´est-ce que je fais de faux?

[invite0fa82544]

Armen92, tu dis que le premier terme est homogène à r³ et le deuxième à r⁴, je ne vois pas comment le second terme est homogène à r⁴...........

Au temps pour moi : j'avais mal compté les puissances !
Pour continuer : une fois injectés les changements et , on obtient quelque chose du genre :
, soit .
On écrit ensuite , etc., et les variables se séparent :

qui doit s'intégrer aisément.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

Merci Armen92, effectivement j´avais complètement oublié la méthode depuis le "petite école". Je viens de le refaire et j´arrive au résultat escompté.

Christophe

[invitee75a2d43]

Tiens tant que tu y es, tu peux jeter un coup d´oeil sur mon dernier post concernant une équation différentielle incomplète du second ordre. J´y ai passé beaucoup de temps sans succès.

[invite0fa82544]

Tiens tant que tu y es, tu peux jeter un coup d´oeil sur mon dernier post concernant une équation différentielle incomplète du second ordre. J´y ai passé beaucoup de temps sans succès.

Promis, quand j'ai un moment, je jette un coup d'oeil pour vous aider.