Coordonnées polaires dans les fonctions à plusieurs variables

[invitec4eb90fd]

Bonjour tout le monde.

voici un exercice (dont j'ai déjà le corrigé), mais la méthode utilisé me dépasse vu qu'elle ne figure pas dans mon cours.

Déterminer les fonctions u(x,y) vérifiant:

Dans la correction, ce sont les coordonnés polaires qui ont été utilisés.

Donc j'aimerai si possible avoir une explication de cette méthode (un paragraphe de cours pourquoi pas), et en guise d'application l'exercer sur cet exo.
Je sais qu'avec les coordonnés polaires, x=rcos(t) , y=rsin(t) et tan(t)=y/x .

Merci d'avance.
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[invite57a1e779]

On se place dans un domaine sur lequel l'application .

Dans ton exercice, qui impose , on considérera par exemple le demi-plan de droite (on aurait le même raisonnement dans le demi-plan de gauche).

On dispose de l'application qui est un -difféomorphisme.

On pose alors , c'est-à-dire que . Par composition, est de classe avec



Alors l'EDP est équivalente à , et en primitivant :, où est une fonction de classe .

Pour exprimer , il faut expliciter en fonction de et de .

Or et , donc , et on obtient finalement, en posant (mais cela me semble bien compliqué...) :

[invitea41c27c1]

Je crois que tu as loupé un carré God's Breath, c'est :
qui donne , ce qui est plus simple.

[invite57a1e779]

Je crois que tu as loupé un carré God's Breath.

Je me disais bien...

Enfin, c'est , donc , et

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec4eb90fd]

Désolé d'avoir mis du temps à réagir.

Chapeau, c'est bien ça qu'on a trouvé en classe...
mais pas vraiment de la même manière.
Ce qui me dérange en particulier, c'est que le prof a utilisé une formule venue de nulle part.
J'ai essayé de démontrer, mais je ne vois pas du tout cette formule vient d'où.

Après avoir posé le changement de variable avec les coordonnées polaires, on me met:



c'est pareil pour , sauf que là où il ya x pour le premier, ya y pour le second.

Avec cette formule, tout fonctionne...et assez facilement.
Seulement, j'ai du mal à digérer une formule qui me vient comme ça, dans un exo, et qui ne figure même pas sur mon cours.

Merci pour vos efforts....j'avoue que j'envie les matheux...

[invitec4eb90fd]

oups, je me suis trompé.
Je traduis.



Pareil pour , sauf que là où il ya ''x'' dans le premier, il ya ''y'' dans le second.



Je suis sûr que tout au fond de moi, se cache un grand physicien mathématicien....c'est juste qu'il doit être relativement loin...pour ne pas dire trop loin......

[invitec4eb90fd]

Aucune idée de la démo de cette formule?

[invitea41c27c1]

N'as-tu pas vu une formule qui donne la différentielle d'une fonction composée :


ce qui se traduit :



Ici on l'applique de la façon suivante : On note et



Or si on pose
,
On a


Et par définition c'est le terme devant et idem pour , ce qui démontre la formule.

J'espère que c'est assez clair.

[invitec4eb90fd]

ce qui se traduit :

Ici h représente quoi? une constante ou une variable?
une constante je suppose....

[invitea41c27c1]

Ici h représente quoi? une constante ou une variable?
une constante je suppose....

est un vecteur. La différentielle est une application linéaire et elle est évaluée sur le vecteur .

[invitec4eb90fd]

Ok merci beaucoup