fonction complexe periodique

[rapasite]

Bonsoir je recherche
une fonction complexe a une dimension (complexe)
qui serrai périodique avec des pôles (zéros) dispose (périodiquement) sur 3 axe dans le plan de gauss a savoir la demi-droite réel positive et les deux demi-droite situer a 2PI/3 et a 4PI/3.


je recherche cette fonction pour trouver la valeur exacte (exprimable avec des nombres connus) de la somme des 1/n^3 (n de 1 a l'infini).

je suis ouvert aux idées,questions,suggestions et critiques éventuelles.


merci a vous.
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,
je pense qu'il faudrait partir d'une fonction bêtement périodique sur R et d'ajouter des conditions sur l'angle theta pour lui restreindre ses annulations sur theta=0,2Pi/3 et 4Pi/3.(après peut être je me trompe complètement) Faut il que sur ces trois axes il y ai la même période ?

[rapasite]

Merci mais je recherche un fonction analytique (développable en séries)

comme par exemple un composition d'exponentielle

pas un fonction construite en posant des conditions ou des restrictions sur une autre fonction.

[invite4ef352d8]

Salut !

pour ta fonction, je comprend aps ce que tu entend par "périodique" ? si ta fonction est périodique (ie vérifie f(x+T)=f(x) pour un certain T, alors l'ensemble des zéros est stable par x->x+T ce qui n'est pas le cas de l'ensemble que tu décris ici...

Mais sinon, la somme de 1/n^3 ne s'exprime pas avec des nombres connu... on ne sait pas le prouver, mais on en a la certitude : d'ailleurs grâce à des algorithmes type inverseur de Plouf, on peut prouver que si une telle expression existait alors elle serait forcement colossale (je sais pas à qu'elle point, mais de toute facon trop compliqué pour que tu puisse la trouver par ce genre de méthode... )

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Je te propose , qui a des pôles simples en , et , entier naturel.

[rapasite]

merci mais pourrai je en savoir plus sur ces étranges méthodes dont tu parle et qui permette d'affirmer que la suite des 1/n^3 ne converge pas vers un nombre facilement exprimable.

quand a la fonction de breukin je ne la comprend pas,
mais p-e me suis-je mal exprimer
car il faut que lorsque j'associe a chaque point du plan complexe sa valeur renvoyer par la fonction et que je me deplace depuis l'origine je croise des zéros a intervalle régulier et ce uniquement lorsque je me dirige dans 3 directions (0°,120°,240°).

[breukin]

Tu continues à mal t'exprimer.
La phrase suivante ne veut rien dire :

car il faut que lorsque j'associe à chaque point du plan complexe sa valeur renvoyée par la fonction et que je me deplace depuis l'origine je croise des zéros à intervalles réguliers et ce uniquement lorsque je me dirige dans 3 directions (0°,120°,240°).

Ce qui pose problème dans cette phrase, c'est l'association entre "lorsque j'associe" et "je me déplace".
La phrase suivante aurait eu du sens :

car il faut que lorsque je me deplace depuis l'origine je croise des zéros à intervalle régulier et ce uniquement lorsque je me dirige dans 3 directions (0°,120°,240°).

La fonction que je t'ai donnée vérifie bien cette dernière propriété, où est la fonction (analytique) Gamma d'Euler, qui prolonge la factorielle dans le plan complexe , et qui a des pôles simples aux entiers relatifs négatifs .
Son inverse, fonction entière, sans pôle, a donc des zéros simples aux entiers relatifs négatifs.

Peut-être faudrait-il que tu définisses mathématiquement où sont les zéros et les pôles de ta fonction ? D'ailleurs tu veux des zéros ou des pôles. Il faudrait savoir.
Peut-être ce sont les points , où et sont réels, et où et sont entiers relatifs ?

[rapasite]

ok je me suis mal exprimer, je recherche un fonction qui possède un domaine de définition= C (tous le plan complexe).

et soit M un réel positif

et qui renvoi la valeur zéro uniquement pour 1*M,2*M,3*M,4*M,5*M...
ainsi que pour M*exp(i*2PI/3),2*M*exp(i*2PI/3),3*M*exp(i*2PI/3)...
et pour
M*exp(i*4PI/3),2*M*exp(i*4PI/3),3*M*exp(i*4PI/3),
4*M*exp(i*4PI/3)...

merci de m'éclairer.

[breukin]

Je vous ai donc donné une fonction qui a des pôles simples en les points que vous donnez (au facteur M près), ainsi qu'en 0.
Donc pour la fonction qui a des zéros simples aux points que vous donnez, vous pouvez prendre (et sans zéro en 0):

Note : est la fonction entière la plus simple ayant ses zéros simples en pour tout entier naturel.
Note : est classiquement la racine cubique de l'unite .

[invite4ef352d8]

"merci mais pourrai je en savoir plus sur ces étranges méthodes dont tu parle et qui permette d'affirmer que la suite des 1/n^3 ne converge pas vers un nombre facilement exprimable." >>> d'une part, des milliers de personnes (Euler le premier) ont déjà essayé de trouver une telle expression sans succès...

plus concretement, on peut calculer quelques centaine de millier de décimal de la somme des 1/n^3 sans trop de problème, et on dispose d'algoritme qui permettent à partir des premières décimal d'un nombre de retrouver l'expression de ce nombre en fonction des constantes classique et des fonctions usuelles... (l'idée est qu'ils connaissant d'immense base de constante et qu'ils cherchent comment les combiner ensuite...)

et si on utilise ces technique et un gros ordinateur sur la somme des 1/n^3 on aboutie rien. donc ce qu'on en déduis, c'est que si expression explicite il y a alors elle est vraiment très très compliqué... mais on a toute les raisons de penser qu'une telle expression n'existe juste pas.