calcul matriciel sur des matrices inversibles

[invitee75a2d43]

Bonjour, j´ai un exo dont je ne comprend pas le corrigé. Je sais à peu près de quoi il s´agit et la direction à prendre, mais dans le corrigé ils partent sur un calcul matriciel que je ne suis pas. Il s´agit de la chose suivante: Dans le groupe linéaire GL_n(IR), on considère la fonction inverse: f(M) = M^-1.
Montrer que la différentielle de f en M d_f(M) est l´application linéaire continue:

L: H -->L(H) = -M^-1.H.M^-1.

Donc je suis le chemin classique en calculant f(M) - f(M+H) - L(H), avec l´intention ensuite de montrer que la norme de cette expression divisée par celle de H tend vers 0 quand H tend vers la matrice nulle.

C´est sur le calcul matriciel que je bloque. On obtient tout d´abord:
f(M) - f(M+H) - L(H) = (M+H)^-1 -M^-1 + M^-1.H.M^-1

Mais après, d´après le corrigé:
(M+H)^-1 -M^-1 + M^-1.H.M^-1 = (M+H)^-1(M-H-M)M^-1 + M^-1.H.M^-1 ...pourquoi?....
etc...

Ils arrivent à l´expression M^-1H(M+H)^-1HM^-1.

À partir de là, il est facile de voir que la norme de cette expression, divisée par celle de H, tend vers 0. Mais comment en arrivent-ils là?


Merci d´avance pour vos suggestions

Christophe
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[invite57a1e779]

Bonjour christophe_de_Berlin,

C'est bêtement technique ; on fait apparaître des termes de la forme avec des matrices bien choisies pour permettre la factorisation :



Pour le fun, je vais à Berlin la semaine prochaine.

[invitee75a2d43]

Merci God´s breath , je peux te conseiller des restaus bons et pas chèrs sur Kreuzberg

[invitee75a2d43]

Alors voilà: dans la Bergmannstrasse (genre de rue Mouftard berlinoise) tu as un restau vietnamien juste après la Nostitzstrasse, tu manges bien pour 8 Euros. Un peu plus loin, au coin Bergmannstrasse/Zossener Strasse, un restau Thailandais pour 8 ou 9 Euros. Mais juste avant tu peux manger des sushis pour pas cher si tu y vas le midi. Sinon tu continues sur tes pas, tu tournes à gauche dans la Zossener strasse, et là un restau excellent où tu bouffes le midi pour 5 euros. Et si t´as vraiment faim ben tu reviens sur tes pas, tu tournes à gauche, tu te retrouves dans la Friesenstrasse, tu montes la côte et sur ta gauche, t´as un Thailandais où tu manges à volonté pour 6 Euro, c´est excellent. La liste est encore longue, mais faut bien arrêter un jour.

Je sais, ca a pas grand-chose à voir avec le calcul matriciel, mais j´ai fait une petite exception

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Merci pour cette digression touristique.