Bonjour,
j'ai un exercice assez sympa et court à résoudre, mais je bloque complètement..
Voici l'énoncé:
Dans l'espace affine euclidien R^3 rapporté à son repère canonique (O, >i, >j, >k), on note a, b, c trois réels strictement positifs et P le plan passant par A(a, 0, 0), B(0, b, 0) et C(0, 0, c). On note (C) le cercle inscrit du triangle ABC dans le plan P, R son rayon et Ω(α, β, γ) son centre.
Le but de l'exercice est de démontrer que le point Ω appartient à la sphère de centre O, de rayon Rsqrt(2)
Pour cela on nous demande de calculer les distances de Ω aux points de contact de (C) avec les côté du triangle, c'est à dire R, en fonction de a, b, c, α, β, γ
On se sert des projetés orthogonaux de Ω dans le plan xOy, xOz et yOz.
Par exemple, soit I= (C)inter(AB) et L le projeté orthogonal de Ω sur xOy
On a (LI) orthogonale à (AB) (tangente au cercle (C') projeté de (C) dans xOy)
donc d(L, AB)=LI= | bcα+acβ-abc | / sqrt(b²c²+a²c²)
( (AB): bcx+acy +abz -abc ; z=0 )
D'après Pythagore on a alors ΩI= sqrt(γ²+LI²)= sqrt[γ²+(bcα+acβ-abc)²/(b²c²+a²c²) ]
même méthode pour ΩJ et ΩK (avec J et K points de contact entre (C) et (BC) puis (AC) )
Je trouve donc des expressions différentes qui décrivent pourtant le même rayon R de (C)
Je dois alors montrer que Ω appartient à la sphère de rayon Rsqrt(2) <=> OΩ=sqrt(α²+β²+γ²)=Rsqrt(2)
J'espère avoir bon jusqu'ici..
Je pense qu'il faut que je trouve une expression commune de R en fonction de a, b, c, α, β, γ et faire un rapprochement entre OΩ et R.. mais les expressions de R sont énormes et je ne vois pas comment simplifier...
Si vous avez une idée.. merci
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