Equivalent d'un produit

[invitea2bb8b70]

Bonjour! J'ai qq difficultés sur un problème concernant les produits infinis.
Pour n1,
On définit la suite (vn) par

Dans les questions précédentes, j'ai montré que

1) Déterminer la nature de la série
2) En déduire que la suite (ln vn) converge vers une limite L
3) Montrer qu'il existe un réel non nul A tel que
On exprimera A en fonction de L

1) J'ai montré que la série converge
2) On a donc tend vers 0 mais je n'arrive pas à démontrer rigoureusement que ln(vn) tend vers une limite L
3) J'ai utilisé la relation pour montrer que mais je n'arrive pas à l'exprimer en focntion de ln vn

Merci d'avance
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Combien vaut la somme partielle de la série : ?

[invitea2bb8b70]

Euh c'est égal à ?

[invite57a1e779]

Plus simplement et plus généralement, lorsqu'on additionne des logarithmes, qu'obtient-on ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea2bb8b70]

On a le logarithme du produit donc c'est égal c'est exact?

[invite57a1e779]

On considère, en toute généralité, et sans lien avec ton exercice, une suite .

Combien vaut la somme partielle de la série : ?

[invitea2bb8b70]

Euh c'est égal à ln(zn/z1)?

[invite57a1e779]

Oui, donc tu peux exprimer à partir de , dont tu as prouvé la convergence.

[invitea2bb8b70]

Ah oui d'accord, vraiment merci beaucoup pour votre aide c'est très gentil

[invitea2bb8b70]

J'ai réussi à faire la question 3 mais il y a une autre question qui me pose problème:

Soit p>0 et la suite (an) définie par: où c est un réel tel que pour tout n, an soit non nul .
a) Déterminer une condition suffisante sur p et c pour (pn) converge vers 0, avec .
b) On suppose p=1. Etudier la convergence de la série

Pour a), en utilisant les questions précédentes, je sais que:
- si converge et diverge als (pn) tend vers 0
- si la somme partielle de diverge vers , alors (pn) tend vers 0

Pour la première possibilité pour que , il faut que mais dans ce cas diverge aussi.
Donc j'ai essayé d'utiliser la 2e propriété, en majorant par et en essayant de faire en sorte que la somme tende vers mais ça n'aboutit pas..

Pour b) je ne vois pas du tout comment faire.

[invitea2bb8b70]

Pour a) en continuant mon raisonnement j'ai essayé de majorer la somme de sin(c/k^p) par qqch qui tend vers mais on ne connait que des majorations de valeurs absolues de sin... Donc je ne sais pas trop si je suis dans la bonne direction??
Pourriez vous me donner des indications?