Bonjour tout le monde !
J'ai un petit souci avec un exo sur une courbe paramétrée par :
x(t) = 1/(t²-t)
y(t) = t/(t²-1)
J'ai fait l'étude et on me demande de montrer que la courbe possède un point double et calculer ses coordonnées.
Je pose t1 différent de t2 tel que x(t1)=x(t2) et y(t1)=y(t2) mais je n'arrive pas à résoudre le système...
D'avance merci,
Robin.
Après avoir écrit les équations sous la forme x(t1)-x(t2)=0 et y(t1)-y(t2)=0, puis fait disparaître les dénominateurs, il y a une factorisation par t1-t2, et ce qui subsiste est symétrique, donc peut s'exprimer à l'aide de S=t1+t2, et de P=t1.t2.Envoyé par Robin L
Après avoir écrit les équations sous la forme x(t1)-x(t2)=0 et y(t1)-y(t2)=0, puis fait disparaître les dénominateurs, il y a une factorisation par t1-t2, et ce qui subsiste est symétrique, donc peut s'exprimer à l'aide de S=t1+t2, et de P=t1.t2.
OK, donc ça me donne :
P*t2 - P*t1 + S*t2 - S*t1 = 0
Soit (P+S)*t2 - (P+S)*t1 = 0
J'avais déjà plus ou moins fait cette étape (sauf que je n'avais pas remplacé par P et S) mais je suis toujours bloqué...
Il y a deux équations à transformer.
Oui, j'avais essayé d'additionner les deux pour voir le résultat. Mes deux équations sont :
Pt2 - Pt1 - (t1-t2) = 0
et
-(s-1)(t1-t2) = 0
Autrement dit (je n'ai pas vérifié les calculs) :.
Comme on cherche à déterminer les points doubles, on a la condition
Mmmh... oui...
Je trouve donc un systeme :
t1t2 = -1
t1+t2 = 1
En substituant je trouve cette équation :
-t1² + t1 + 1 = 0
Dont les solutions sont (1+racine(5))/2 et (1-racine(5))/2
Qui vérifient bien x(t1)=x(t2) et y(t1)=y(t2)
Et en plus ça me donne un point de coordonnées (1;1) ce qui sonne assez bien.
Merci beaucoup pour les explications et ta patience ! Je regarde de temps en temps ce forum depuis quelques années mais c'est la première fois que j'y pose une question, et je ne regrette pas !
Encore merci et bonne soirée !
Robin
