Coordonées d'un point d'intersetion de deux courbes

[invite22e19313]

Bonsoir, j'ai une exercice à faire et j'ai beau le tourner dans tous les sens je ne trouve pas la solution, je crois bien que j'ai oublié la méthode...Voilà l'énoncé :
On considère la courbe C d'équation y=x²-x+1
et la courbe C' d'équation y=1/(1+x)
Démontrer que ces deux courbes se coupent en un point A dont vous prééciserez les coordonées.

J'ai trouvé les dérivées des tangentes (c'est le chapitre qu'on étudie):
F'c(x) = 2x-1 et F'c'(x) = -1/(x+1)²

Mais je ne vois pas de solution...Sachant qu'ensuite on doit démontrer que les courbes C et C' admettent en ce point A une tangente commmune
Sachant que je comprends à peine ce que je dis...Help please !!!
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[invite1237a629]

Plop,

J'ai trouvé les dérivées des tangentes

Bouh Bouh Bouh Bouh

Qu'est-ce donc que cela ?

La fonction dérivée donne pour sûr l'équation d'une tangente en un point à la courbe, mais point les "dérivées des tangentes"

Tu as trouvé le point d'intersection des deux courbes ?
Soient a et b l'abscisse et l'ordonnée respectives du point A.

a et b vérifient les deux équations de fonction citées plus haut (a à la place des x, b à la place des y).

Ensuite, pour que la tangente soit en ce point soit commune aux deux courbes, il faut que le coefficient directeur de la tangente soit le même pour les deux fonctions. En clair, considérant que le coefficient directeur de la tangente en un point d'abscisse a est f'(a), il faut que le nombre dérivé au point A soit le même pour la première et la deuxième courbes.


Si ce n'est pas clair, je peux faire en plus succint

[Gwyddon]

J'ai trouvé les dérivées des tangentes (c'est le chapitre qu'on étudie):
F'c(x) = 2x-1 et F'c'(x) = -1/(x+1)²

Sinon ce soir j'ai envie de parler pour ne rien dire

La dérivée des tangentes on pourrait à la rigueur le comprendre comme l'inflexion de la courbe (en effet la dérivée du coefficient directeur d'une tangente en a est la dérivée de la dérivée en a, donc f''(a) et cela mesure l'inflexion de la courbe en a).

[Jeanpaul]

L'intersection de 2 courbes n'a rien à voir avec les dérivées ! Ca servira peut-être dans une question ultérieure.
Pour calculer l'intersection de 2 courbes
y = F(x)
y = G(x)
On doit résoudre l'équation F(x) = G(x), ce qui est trivial dans le cas présent.
La valeur de x trouvée donne l'abscisse du point d'intersection.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2d301a90]

bonjour;

j'ai le meme énoncé et je trouve 2points d'intersections qui sont A(1;1) et (-2;-2)
est ce possible?

aprés pour la 2 je trouve le meme coefficient directeur qui est 0.

et j'ai une troisieme question qui et etudier la position de chacune de ces courbes par rapport a cette tangente.

merci d'avance

[invite0ec8e085]

Pouvez vous plus m'éclairer sur cette première question svp

[mimo13]

Salut

Je te conseille d'ouvrir un nouveau sujet, comme ça on pourra te comprendre et ainsi te répondre.

[invite71701b1e]

Comme le disait Jeanpaul :

Re : coordonées d'un point d'intersetion de deux courbes
L'intersection de 2 courbes n'a rien à voir avec les dérivées !
Pour calculer l'intersection de 2 courbes
y = F(x)
y = G(x)
On doit résoudre l'équation F(x) = G(x), ce qui est trivial dans le cas présent.
La valeur de x trouvée donne l'abscisse du point d'intersection.

donc essayez de faire comme il dit. Pour ceux qui ont de la peine je vais donner plus de détails, en espérant ne pas me tromper avec l'éditeur de puissances :
C'est ce que je vais donc essayer de faire
pour F(x)
y=x²-x+1

pour G(x)
y=1/(1+x)

On pose donc : x²-x+1 = 1/(1+x)

on procède aux simplifications successives suivantes :
on multiplie des 2 côtés par (1+x) et on obtient :
(x²-x+1) (1+x) = 1
On applique la distributivité et on obtient, après simplifications :
x³+1 = 1

x³ = 1-1
x³ = 0 (zéro)
donc x=0 (zéro)

on a x on peut donc chercher y en remplaçant x par zéro dans une des équations pour trouver la valeur de y

Si je remplace dans la première:
y=x²-x+1 = 0²-0+1 = 1

Si je remplace dans la deuxième:
y=1/(1+x) = 1/(1+0) = 1/1 =1, le fait que je trouve bien le même résultat semble corroborer ce que j'avais trouvé pour x

donc x = 0 et y =1 et le point d'intersection est le point de la forme <x;y> qui vaut : <0;1>

J'espère que ces étapes intermédiares serviront à ceux qui ont le plus de difficultés.

[invite71701b1e]

Ah oui, j'oubliais, le fait qu'en cherchant un point d'intersection, on en ait bien trouvé, cela démontre bien qu'elles se coupent. Et donc cela résout la première partie du problème de départ. A mon avis en tout cas.
(Démontrer que ces deux courbes se coupent en un point A dont vous prééciserez les coordonées.)

Reste à voir si la tengeante en ce point à bien la même pente pour ces 2 courbes, si j'ai bien compris...
Là effectivement les dérivées vont nous aider... il suffit là aussi de remplacer dans les dérivées x par zéro, puisqu'on étudie la pente là ou x vaut zéro (notre point d'intersection)
Et je te laisse faire la vérification mais je crois qu'on trouve bien la même chose.