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fonction exponentielle et demonstration



  1. #1
    happen

    fonction exponentielle et demonstration

    Bonsoir à tous

    J'ai un devoir de maths dans lequel on me donne:

    f(x) = 300 / (50x²-165x+186) e^x

    f est-elle décroissante sur R ? Le démontrer.


    Je ne sais pas comment m'y prendre, quelqu'un pourrait m'indiquer la demarche à suivre svp?

    j'ai juste pensé à faire la derivée

    f'(x) = -300e^x ( 50x²-65x+21) / (50x²-165x+186)²

    je ne sais pas si c'est correct et je ne vois pas ce que je dois faire après
    merci

    -----


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  3. #2
    gg0

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    Bonjour.

    Mon esclave calculateur ne trouve pas ça.
    la suite est l'étude du signe de la dérivée. C'est classique, non ?

    Sinon, ta fonction n'est probablement pas f(x) = 300 / (50x²-165x+186) e^x mais f(x) = 300 /( (50x²-165x+186) e^x) (l'exponentielle est au dénominateur). Alors la dérivée est fausse, car l'exponentielle n'est pas au numérateur de la dérivée.

    Cordialement.

  4. #3
    CaptainPingouin

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    Ta fonction est sous la forme u/v ce qui donnera en dérivée (u'v-uv')/v². Ce qui donnerai f'(x) = (-300(e^x(50x²-165x+186) + e^x(100x+165) ) / (e^x(50x²+165x+186))². Il faut ensuite étudier le signe de chaque élément de cette dérivée pour en déduire le signe de la dérivée et donc, des variations de f(x) sur R.
    Dernière modification par CaptainPingouin ; 17/12/2012 à 18h31.

  5. #4
    happen

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    Bonsoir

    Voici quelques corrections:
    fonction f(x) = (300) / ((50x² -165x +186) e^x)
    du type 1/u avec pour dérivée -u' / u²
    avec u= (50x²-165x +186) +e^x
    et u'= (100x -165)e^x

    f'(x) = ((-100x+165)e^x) / ((50x²-165x + 186)e^x)

    voila ou j'en suis, c'est correct s'il vous plait?

  6. #5
    gg0

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    Ton U' est faux (U est un produit). et tu n'as pas mis le carré au dénominateur.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    CaptainPingouin

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    La fonction au dénominateur étant sous la forme uv (avec u = e^x et v= 50x²-165x+186), donc cela donnerait pour moi u'v + uv' .

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  10. #7
    epsil0n

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    *dénominateur

    u= 50x² - 165x +186 et u'= 100x -165
    v= e^x et v'= e^x

    dérivée du dénominateur = (50x² -65x +21) * e^2x

    * dérivée de f
    u= (50x² -165x +186) e^x
    u'= (50x² - 65x +21) * e^2x

    f'(x)= ((-50x² +65x -21) * e^2x) / ((50x² -165x +186) * e^2x)

    j'ai le meme et j'ai fais ca, c'est bon?
    je comprends pas trop les exponentielle
    Dernière modification par epsil0n ; 18/12/2012 à 19h06.

  11. #8
    happen

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    oui j'ai a peu près pareil la, mais sauf que j'ai pas e^2x moi j'ai mis tout au carré, c'est pareil?

  12. #9
    CaptainPingouin

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    J'avais mis n'importe quoi moi avant avec mon u/v. Enfin bref, on a une fonction sous la forme 1/u donc, cela donne -u'/u². u = e^x(50x²-165x+186). u étant un produit de forme (ab), il se dérive et donne a'b+ab' (Sans oublier le signe négatif). Le dénominateur est lui élevé au carré, à savoir (e^x(50xé-165x+186) )². En supprimant les parenthèses, le carré s'applique aux deux éléments, e^x et (50x²-165x+186) car c'est un produit. Si tu met e^2x, c'est que tu as supprimé les parenthèses, il ne faut donc pas oublier de l'appliquer aussi à (50x²-165x+186) ! Quand au numérateur, e^x n'a pas été élevé au carré, il n'y a pas de raison de mettre e^2x, il a été factorisé. Je ne pense et je n'espère pas m'être trompé.

  13. #10
    happen

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    merci pour vos reponses

    j'ai moi aussi e^2x au numerateur car j'ai
    u'=(50x² -65x + 21)e^2x comme espilon

    en fait je crois que je n'ai pas compris..

    en fait moi j'ai compris que pour calculer f'(x) = -u' / u², et bien u correspondait au dénominateur u.v et donc u' correspondait à u'.v * u.v'

    je vais detaillé ce que j'ai fait

    je m'occupe en premier du dénominateur de la forme u*v
    dont la dérivée est u'.v * u.v'
    je trouve donc comme epsilon il me semble:
    u=50x² -165x+186
    u'=100x-165
    v=e^x
    v'=e^x

    ca donne (toujours pour dériver le denominateur):
    ((100x - 165) * e^x ) + ((50x² -162x+186) * e^x)
    donc (50x²-60x+21)*e^2x
    ( c'est de la que vient mon e^2x)

    donc pour la fonction maintenant
    f'(x)=-u'/u²
    donc u=(50x²-165x +186)e^x et u'= (50x²-65x+21)e^2x

    ca donne:
    f'(x)= ((-50x² +65x-21)e^2x) / ((50x²-165x+186)e^x)²
    f'(x)= ((-50x²+65x-21) *e^2x)/((50x²-165x+186)²*e^2x)
    voila


    c'est ca ou pas du tout?

  14. #11
    CaptainPingouin

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    "ca donne (toujours pour dériver le denominateur):
    ((100x - 165) * e^x ) + ((50x² -165x+186) * e^x)
    donc (50x²-65x+21)*e^2x
    ( c'est de la que vient mon e^2x)"

    (attention, c'est 165, non 162 !)
    (100x-165x = -65x ! )
    Encore une fois, attention, ici il faut factoriser, les e^x ne se multiplient pas, cela te donne e^x( (100x-165) + (50x²-165x + 186) )
    Dernière modification par CaptainPingouin ; 18/12/2012 à 21h02.

  15. #12
    happen

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    (attention, c'est 165, non 162 !)
    (100x-165x = -65x ! )

    c'est bien ce que j'ai mis, non?

    merci pour vos réponses, maintenant j'ai bien compris!
    donc u'=e^x( (100x-165) + (50x²-165x + 186) ) c'est bien ca?

    dernière question pour la dérivée et après je pense qu'elle sera enfin bonne... ^^
    on veut -u', mais on ne tient pas compte du - puisqu'une expo est toujours positive, non? ou alors je dois faire -(e^x( (100x-165) + (50x²-165x + 186))) ?

    merci

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  17. #13
    PlaneteF

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    Citation Envoyé par happen Voir le message
    on veut -u', mais on ne tient pas compte du - puisqu'une expo est toujours positive, non?
    Bonsoir,

    Donc si l'on suit ce raisonnement, si , puisque est toujours positif, "on ne tient pas compte du signe -" (sic) et donc
    Dernière modification par PlaneteF ; 18/12/2012 à 22h05.

  18. #14
    happen

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    mais non mais je n'ai pas encore fais d'exercice sur l'exponentielle mais dans le cours on dit qu'une exponentielle est toujours positive, donc par consequent -e^x n'existe pas ? c'est pour ca que je demande si on en tient compte quand même en notant -(e^x .... ) ou alors pas du tout

  19. #15
    PlaneteF

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    Citation Envoyé par happen Voir le message
    (...) dans le cours on dit qu'une exponentielle est toujours positive, donc par consequent -e^x n'existe pas ?
    est toujours positif, et existe bien ! (dans R)
    Dernière modification par PlaneteF ; 18/12/2012 à 22h17.

  20. #16
    happen

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    ma dérivée donne donc

    f'(x)= -(e^x((100x-165)+(50x²-165x+186))) / ((50x²-165x+186)² * e^2x))

    c'est bien ca? est ce que je peux encore simplifier?

  21. #17
    gg0

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    Oui, par e^x qui est un facteur commun en haut et en bas. Puis tu peux développer et réduire le numérateur.

  22. #18
    happen

    Re : fonction exponentielle et demonstration

    Bonjour, merci

    j'ai revu avec mon prof qui m'a dit qu'en fait je ne devais pas oublier les 300 a mon numerateur
    soit f'(x)= -300 * (e^x(50x²-65x+21)) / ((50x²-165x+186)² * e^2x))

    c'est correct la ?

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