Nombres complexes et géométrie

[Benzema22]

Bonjour à tous. J'ai besoin d'aide pour 2 exercices, l'un sur les nombres complexes et l'autre sur la géométrie dans l'espace. J'espère que vous allez pouvoir m'aider! Merci d'avance en tout cas. J'aimerai juste avoir des indications car je n'arrive pas du tout à me lancer.

Exercice n°1 :

Résoudre dans C,
z1,z2,z3 de module 1
z1*z2*z3 = 1
z1 + z2 + z3 = 1
C'est un système..

Si a, b, c, d appartiennent à C, interpréter géométriquement :
a + c = b + d
a + ib = c + id
C'est un système également..

Exercice n°2 :

Dans un repère orthonormé, on donne les 4 plans.
P : x + y = 1
Q : y + z = 1
R : x + z = 1
S : x + 3y + z = 0
et le point A (1,1,ù)

Déterminer les valeurs de ù pour lesquelles, les projetés de A sur P, Q, R et S sont coplanaires.
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[invite986312212]

au pif je dirais que le premier système de l'exercice 1 n'a pas de solutions

[Benzema22]

Je ne crois pas que le prof va apprécié si je met ça...

Il y a moyen que tu m'aides ?

[invite986312212]

en principe pour demander de l'aide sur ce forum, il faut montrer qu'on a cherché un peu. Qu'as-tu fait par exemple pour le premier système?

si je pense qu'il n'a pas de solutions c'est parce que je vois une solution évidente au système z1z2z3=1 et z1+z2+z3=0 et je n'arrive pas à voir comment modifier la solution en question pour l'adapter à ton système. Mais je reconnais que c'est une approche plus que bancale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Benzema22]

Le problème c'est que je ne vois pas du tout comment faire pour cet exercice...

[invite986312212]

ah si en fait il y a une solution presque aussi évidente...

est-ce que tu sais ce qui se passe quand on multiplie entre eux deux complexes de norme 1 ?

[Benzema22]

Non je ne sais pas..

[God's Breath]

En écrivant le second système sous la forme : ,
on a une interprétation géométrique immédiate.

[invite986312212]

bon alors il te manque pas mal de bases...

je te donne un indice: deux des nombres z1, z2 et z3 sont opposés, disons qu'on a z1= -z2. Tu dois déjà pouvoir en déduire z3 et la valeur du produit z1*z2.

[Benzema22]

God's Breath : Je vais peut-être paraître bête... mais pour moi ce n'est pas immédiat! =O

[Benzema22]

Ambrosio : je viens de trouver je crois..

z1 = i
z2 = -i
z3 = 1

Les 3 de module 1 ok.
z1 + z2 + z3 = i - i + 1 = 1 ok.
z1*z2*z3 = i*(-i)*1 = 1 ok.

C'est bien ça ?

[God's Breath]

Soient ,, et les points d'affixes respectives , , et .

L'équation fournit une relation simple entre les vecteurs et .

L'équation fournit une relation simple entre les vecteurs et .

[Benzema22]

Je t'ai envoyé un message God's Breath !

[God's Breath]

Pour l'exercice 1 :

Soit le point d'affixe .

Comme est de module 1, le point appartient au cercle unité, donc le centre du cercle circonscrit au triangle est l'origine d'affixe nulle.

L'isobarycentre du triangle a pour affixe , et le point d'affixe satisfait : ; est donc l'orthocentre du triangle .

Comme l'orthocentre appartient aux symétriques du cercle circonscrit par rapport à chacun des côtés du triangle, il ne peut appartenir au cercle circonscrit que si c'est un des sommets, et que le triangle est rectangle en ce sommet.

On a donc, par exemple, , soit ; il reste alors , donc , et la dernière équation, , fournit la relation : .

Finalement, il y a 6 solutions qui se déduisent de par permutation.

[Benzema22]

C'est bien ce que j'avais trouvé alors...

Pour l'exercice 2 tu peux m'aider ? Et l'interprétation géométrique de l'exercice 1 stp ?

Merci d'avance!

[Benzema22]

Tu es encore là God's Breath ?

[invitefa064e43]

Et l'interprétation géométrique de l'exercice 1 stp ? ?

il y a déjà beaucoup d'interprétation géométrique que Godbreath t'as gentiment donnée dans son développement...