Devoir geométrie et nombres complexes

[invitea97b4264]

Bonjour à tous !

Je travaille en ce moment sur un exercice sur les nombres complexes et jaurais besoin d'aide pour certaines questions du devoir !

Voici l'énoncé :

Dans un plan P rapporté au repère orthonormal (O, vecteur u, vecteur v), on considère les points I et A d'affixes respectives 1 et -2. Le point K est le milieu du segment [IA] et on appelle C le cercle de diamètre [IA].

2) Soit D le point du cercle C tel que
(vecteur KI, vecteur KD) = pi/3 + k2pi (k est un entier relatif)
et d l'affixe de D.

a) Quel est le module de d + 1/2 ? Donner un argument de d + 1/2.
b) En déduire que d = 1/4 + (3i*Racine3)/4

Merci d'avance pour votre aide !
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[invitea97b4264]

s'il vous plait jai besoin d'aide

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Qu'est-ce qui te pose problème ?

Vois-tu d'où vient le "+1/2" (ou devrais-je dire -(-1/2) ) ?
Vois-tu ce que représente géométriquement le complexe d+1/2 ? Son module ? Et son argument ?

Duke.

[invitea97b4264]

Oui je comprends ou tu veux en venir. d + 1/2 = d -(-1/2) = d - k (J'ai prouvé précedemment que k est l'affixe du point K)

Ainsi on a (j'utilise ! pour la barre de module et O pour l'angle Téta)
!d + 1/2! = !d-(-1/2)! = !d - k! = KD

Donc arg (d+1/2) = KD(cos O + isin O)

Mais je ne vois pas comment en déduire l'affixe d du point D :S A moins de remplacer par l'écriture de d donnée dans la question b) dans le module ? Mais cela ne me semble par très correct

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Oui je comprends ou tu veux en venir. d + 1/2 = d -(-1/2) = d - k (J'ai prouvé précedemment que k est l'affixe du point K)

Ainsi on a (j'utilise ! pour la barre de module et O pour l'angle Téta)
!d + 1/2! = !d-(-1/2)! = !d - k! = KD

C'est bien cela.

Donc arg (d+1/2) = KD(cos O + isin O)

ATTENTION ! Un argument est un angle et non un complexe !
Sur ton schéma, ne vois-tu pas ce que représente l'argument du complexe "d-k" ?

Duke.

[invitea97b4264]

Oui exact d + 1/2 n'est pas sous forme algébrique donc mon écriture est fausse. Selon moi puisqu'on a (vecteur KI, vecteur KD) = pi/3 + k2pib et que D est un point du cercle, alors KD = KI
Donc arg(d-k) = (vecteur KI, vecteur KD) C'est cela ?

En revanche pour la question b) je ne vois pas :S

[Duke Alchemist]

Oui exact d + 1/2 n'est pas sous forme algébrique donc mon écriture est fausse. Selon moi puisqu'on a (vecteur KI, vecteur KD) = pi/3 + k2pib et que D est un point du cercle, alors KD = KI
Donc arg(d-k) = (vecteur KI, vecteur KD) C'est cela ?

En revanche pour la question b) je ne vois pas :S

C'est ce qui m'a sauté aux yeux...

Aide-toi de tes résultats.
En déterminant le module et l'argumet de d-k, tu peux exprimer ce complexe sous forme trigo puis sous forme algébrique puis en déduire d, non ?

[invitea97b4264]

Ok ^^ Mais ce qui me pose problème c'est le fait que on ne puisse pas mettre d + 1/2 sous forme algébrique
Je m'explique :

d + 1/2 = !d+1/2!*(cos O + isin O)
= KD*(cos O + isin O)

On sait que KD = KI

KI = !i - k! = !1 + 1/2! = Racine(5/4)

Donc d + 1/2 = Racine(5/4)*(cos (pi/3) + isin (pi/3)) car on a prouvé que arg(d - k) = (vecteur KI, vecteur KD) = pi/3

Mais ensuite comment procède ton si on ne connait pas la forme algébrique ?

On peut mettre d sous la forme a +ib et ainsi trouver d c'est cela ?

[invitea97b4264]

J'ai essayé cette méthode mais elle ne semble pas aboutir

[Paminode]

KI = !i - k! = !1 + 1/2! = Racine(5/4)

Donc d + 1/2 = Racine(5/4)*(cos (pi/3) + isin (pi/3)) car on a prouvé que arg(d - k) = (vecteur KI, vecteur KD) = pi/3

Mais ensuite comment procède ton si on ne connait pas la forme algébrique ?

Bonjour Lisette,

KI = !i - k! Ce n'est pas plutôt KI = !1 - k! ?
Ensuite :
!1 + 1/2! = !3/2! = 3/2 sauf erreur de ma part.
Je ne comprends pas d'où vient Racine(5/4) ?
Pour la forme algébrique, il doit y avoir quelque chose comme :
cos(pi/3) = 1/2 et sin(pi/3) = (racine 3)/2
Vous devriez retomber plus ou moins sur vos pieds.

Paminode

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Tu as :
* |d+1/2|=3/2 (rayon du cercle = DK)
* arg(d+1/2) = pi/3 [2pi]

Ainsi, tu peux exprimer d+1/2 = |d+1/2|*e^arg(d+1/2) = ...
Expression que tu peux écrire sous forme algébrique.

Duke.

[invitea97b4264]

Merci beaucoup je men suis sortie pour cette question.
Je pensais pouvoir résoudre celle ci sans problème mais finalement je bloque un peu voici l'énoncé :

c) Déterminer un réel a vérifiant l'égalité (1 + 2ia) / (1 - ia) = 1/4 + ((3i*Racine3)/4)

[invitea97b4264]

je pensais dévellopper (1 + 2ia) / (1 - ia) = (1 + 3ia - 2a²) / (1 + a²)

Ensuite comment continuer ? Je calcule les solutions de ce dévelloppement à l'aide du discriminant ?

[Paminode]

Bonjour,

Pas convaincu.
Je ne connais pas la réponse, mais on a démontré que :
(1) d+1/2 = 3/2 (cos/3 + i sin/3)
Par ailleurs :
(2) d+1/2 = (1+2ai)/(1-ai) + 1/2
Est-ce qu'une piste ne serait pas de mettre cette seconde égalité sous forme trigono et la comparer à (1) ?
Mais je me trompe peut-être...
Qu'en pense notre ami Duke ?

Paminode

[Paminode]

Un rapide calcul me montre que
(1+2ai)/(1-ai) + 1/2 = 3(1+ai)/2(1-ai)
Ce qui conduirait à
(1+ai)/(1-ai) = (cos/3 + i sin/3) ?
(1+ai)/(1-ai) = (1+ai)²/(1-ai)(1+ai) = (1+ai)²/(1+a²)
Est-ce que (1+ai)²/(1+a²) = (cos/3 + i sin/3) ?

Paminode[/QUOTE]

[Paminode]

Ou encore
Ecrire (1+ai)/(1-ai) = e ⁱ / ' e ^{i '}
= ( / ') e ^{i( - ')}
et égaler avec (3/2) e ^i/3 ?

[invitea97b4264]

Un rapide calcul me montre que
(1+2ai)/(1-ai) + 1/2 = 3(1+ai)/2(1-ai)
Ce qui conduirait à
(1+ai)/(1-ai) = (cos/3 + i sin/3) ?
(1+ai)/(1-ai) = (1+ai)²/(1-ai)(1+ai) = (1+ai)²/(1+a²)
Est-ce que (1+ai)²/(1+a²) = (cos/3 + i sin/3) ?

Paminode

[/QUOTE]

Ca me semble vraiement très compliqué comme méthode ! En tout cas je ne comprends pas :S Jai essayé de devellopper pour trouver a jobtiens

(1 + 2ia)/(1 - ia) = 1/4 + ((3i*Racine3)/4)
(1 + 3ia - 2a²)/(1+a²) = 1/4 + ((3i*Racine3)/4)
1 + 3ia - 2a² = (1+a²)(1/4 + ((3i*Racine3)/4))
3ia = -3/4 + (8/4a²) + ((3i*Racine3)/4) + ((3ia²*Racine3)/4)

Ca me semble compliqué aussi mais il n' y aurait rien a faire avec cette égalité ??

[Paminode]

A priori, je pencherais plutôt pour la méthode exponentielle.
(Nos deux envois se sont superposés.)

Paminode

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Qu'en pense notre ami Duke ?

Merci merci

Je partirais de la forme

(1 + 2ia) / (1 - ia) = (1 + 3ia - 2a²) / (1 + a²)

de séparer les parties réelle et imaginaire puis d'identifier à l'autre expression.
Tu auras deux égalités pour trouver a.

J'ai la réponse... mais je te laisse cogiter un peu

Duke.

EDIT : N'oublions pas que a est réel. Ce qui facilite un peu la chose.

[Paminode]

Hello Duke,

Ca ne marche pas le coup :

Ecrire (1+ai)/(1-ai) = e ⁱ / ' e ^{i '}
= ( / ') e ^{i( - ')}
et égaler avec e ^i/3 ?

?

Paminode

[Duke Alchemist]

Euh peut-être...

J'y jetterais un oeil à l'occasion mais là

Après relecture des messages précédents, lisette semblait partie sur cette piste sauf qu'elle n'a pas pensé à l'identification (plutôt que de continuer dans les calculs...).

Cordialement,
Duke.

[invitea97b4264]

Merci a vous deux ! Paminode je n'avait pas encore vu ta méthode avec les exponentielles je suis en train de la voir en ce moment donc je suis partie sur la piste de Duke ^^

Voici la suite de mon dm

3) Soit x un réel non nul et M le point d'affixe m = (1+2ix)/ (1 -ix)
On pose Z = (m-1) / (m+2)

Calculer Z et en déduire la nature de triangle AIM.

Jai calculer Z qui en normalement devrait etre égal à ix mais je trouve Z = ix/3 donc jai du faire une erreur quelque part. En revanche je ne vois pas trop comment trouver la nature du triangle AIM Il faut avoir recours aux arguments de nouveau ?

[invitea97b4264]

Finalement pour cette question je devrais pouvoir me débrouiller mais je bloque encore pour la question 4) qui ne dépend pas des questions precedentes donc meme quelqu'un qui n'a pas suivi la discussion est apte à y répondre ! Voici l'énoncé :

4) Soit N un point différent de A du cercle C, et n son affixe. Démontrer qu'il existe un réel y tel que n = (1+2iy)/ (1-iy)
Ce résultat peut il etre étendu au cas ou N = A ?

La en revanche je bloque vraiment donc je le répète toute aide est la bienvenue !

Merci d'avance à vous !

[invitea97b4264]

Ah Duke je vois que tu est de retour tu me sauves la vie ! Jai essayé cette méthode mais elle me semble un peu compliquée

N appartient au cercle C si il vérifie l'équation de cercle mais la méthode ne semble pas aboutir ! :S

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Jai calculer Z qui en normalement devrait etre égal à ix mais je trouve Z = ix/3 donc jai du faire une erreur quelque part. En revanche je ne vois pas trop comment trouver la nature du triangle AIM Il faut avoir recours aux arguments de nouveau ?

Comment savais-tu que tu devais obtenir Z=ix ?
En effet, c'est bien Z=ix.
Je pense que lorsque tu as mis au même dénominateur au numérateur, tu as du écrire 1+2ix-1-ix au lieu de 1+2ix-1+ix (en multipliant 1-ix par -1). Me trompe-je ?

Duke.

EDIT :

Ah Duke je vois que tu est de retour tu me sauves la vie !

N'exagérons rien ...
Que de compliments sur ce fil

[Duke Alchemist]

4) Soit N un point différent de A du cercle C, et n son affixe. Démontrer qu'il existe un réel y tel que n = (1+2iy)/ (1-iy)
Ce résultat peut il etre étendu au cas ou N = A ?

Elle dépend des questions précédentes. Enfin, il y a un lien en tout cas.

Il te suffit de traduire en complexe "N appartenant au cercle C" et de résoudre l'équation correspondante.

Duke.

[invitea97b4264]

Elle dépend des questions précédentes. Enfin, il y a un lien en tout cas.

Il te suffit de traduire en complexe "N appartenant au cercle C" et de résoudre l'équation correspondante.

Duke.

Oui c'est ce sur quoi j'étais partie mais ca me semble un peu complexe ou alors je me trompe dans mon raisonnement !

n = (1+2iy)/ (1-iy) = ((1-2y²)/ (1+y²)) + (3iy/ (1+y²))

n appartient à C de centre K daffixe -1/2 et de rayon IK = 3/2 <=> [((1-2y²)/ (1+y²)) + 1/2]² + [3iy/(1+y²)]² = (3/2)²

C'est correct ??

[Duke Alchemist]

As-tu trouvé la nature du triangle AIM ?
Je pense qu'indirectement cela peut t'aider

L'affixe Z a un lien très étroit avec ce que tu cherches à faire.

[Duke Alchemist]

...
n appartient à C de centre K daffixe -1/2 et de rayon IK = 3/2 <=> [((1-2y²)/ (1+y²)) + 1/2]² + [3iy/(1+y²)]² = (3/2)²

C'est correct ??

Tu as un complexe (apparition du i) dans l'équation de ton cercle...

[invitea97b4264]

Tu as un complexe (apparition du i) dans l'équation de ton cercle...

Jai fait ca mais il me semblait plus judicieux de retirer les i mais je nai jamais vu comment appliquer l'équation de cercle dans le cas des complexes paut tu me l'expliquer ? =)