Devoir nombres complexes (mpsi)

[invite013bc508]

Bonjour,
Je suis en premiere année de MPSI, et j'ai un devoir maison de maths a faire sur des nombres complexes.
Sauf que je bloque énormement il faut l'avouer...

Soient p et q deux nombres réels, on note (E) l'équation d'inconnue complexe z : z³+pz+q=0

Soit z appartenant a C montrer que :

Z³+pz+q=O équivaut a :

Il existe (u;v) appartenant a C² tel que :

z=u+v
u³+v³=-q
uv=-p/3

(systeme)

Le pire est que je bloque aussi sur la question suivante

Resolution du systeme : (S) :
u³+v³ =-q
uv=-p/3

Montrer que si u et v sont solutions de (S) alors u³ et v³ sont les solutions d'une équation du second degres (E2) dont on precisera les coeff en fct de p et q.

Je dois rendre ca pour mercredi matin... Je suis vraiment désespérée...
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[invite8bc5b16d]

Salut,

es-tu sûre que u et v sont complexes ? car si un sens de l'équivalence est évident, l'autre me semblerait plus facile si u et v était réels et si z = u+iv...

sinon pour la deuxième question, la réponse se trouve du côté du produit et de la somme des racines d'une équation du second degré

[invite013bc508]

Oui c'est bien marqué que (u;v) appartiennent a l'ensemble des nombres complexes.

Euh est ce que tu pourrais etre plus precis pour la seconde question ? ^^'

[invite013bc508]

J'ai reussi a prouvé un sens de l'équivalence (si on a le systeme on a l'équation) mais pour le deuxieme sens je bloque toujours...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite013bc508]

2ème probleme resolue. (Cardan..)

[invite8bc5b16d]

effectivement fallait penser que l'on pouvait imposer une condition vu que l'on introduisait une inconnue supplémentaire...

pour ta deuxième question, si x1 et x2 sont les racines d'un polynôme x²+ax+b, alors a = x1+x2 et b = x1*x2