Devoir maison nombres complexes et arguments

[invitea97b4264]

Bonjour à tous !

Je planche en ce moment sur un dm sur les nombres complexes et je ne parviens pas à résoudre certaines questions de ce dm !

Voici l'énoncé :

Dans le plan complexe (O,vecteur u, vecteur v) orthonormal, on considère les points A, B, C, D, G et H d'affixes respectives
a = -3 + i*Racine3
b = -3 - i*Racine3
c = -2 + Racine3 - i
d = -2 + Racine3 + i
g = -2
h = 2*Racine3

1)a. Déterminer la forme trigonométrique des nombres complexes a-g et d-g.

b. Justifier que les points A, B, C et D sont sur un meme cercle que l'on précisera.

Merci d'avance pour votre aide PRECIEUSE !!
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[invitea97b4264]

Bien sur jai déja bossé le sujet
Je vais utiliser ! pour le module

Donc pour la question 1)a. je trouve :
a-g = -1 + i*Racine3
!-1 + i*Racine3! = Racine4 = 2

Donc a-g = 2(cos(2pi/3) + isin(2pi/3))

d-g = Racine3 + i
!Racine3 + i! = 2

Donc d-g = 3(cos(pi/6) + isin(pi/6))

En revanche pour la question 1)b. Je ne vois pas du tout comment faire. Je pense qu'il faut utiliser la formule de l'équation de cercle mais je ne vois pas comment :S

[ansset]

je ne vois pas ou est le pb.

a-g et d-g se calcule dans un premier temps.
ensuite il faut en determiner le module et l'argument.

pour la deuxième question , faire de même avec B et C.
tu trouveras qcq chose de commun....

[invitea97b4264]

Jai calculé a-g et d-g pour ca il n'ya pas de probleme mais c'est ensuite que je bloque meme si je calcule b-g et c-g je ne vois pas ou cela va me mener

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

Jai calculé a-g et d-g pour ca il n'ya pas de probleme mais c'est ensuite que je bloque meme si je calcule b-g et c-g je ne vois pas ou cela va me mener

cherches d'abord le module et l'argument de a-g et d-g !!!!!

un complexe s'ecrit :
z=IzI*( cos(a)+i sin(a)) non ?

[fiatlux]

cherches d'abord le module et l'argument de a-g et d-g !!!!!

Elle l'a fait (message #2).

Petite erreur d'ailleurs. L'argument de a-g est -pi/3 et non 2pi/3. Et dans la forme trigo de d-g c'est 2 pas 3 vu que le module est 2.

[invitea97b4264]

cherches d'abord le module et l'argument de a-g et d-g !!!!!

un complexe s'ecrit :
z=IzI*( cos(a)+i sin(a)) non ?

Mais je l'ai calculé le module et l'argument tu n'as pas pris connaissance de l'intégralité de la discussion regarde au message 2 ^^

[invitea97b4264]

Elle l'a fait (message #2).

Petite erreur d'ailleurs. L'argument de a-g est -pi/3 et non 2pi/3. Et dans la forme trigo de d-g c'est 2 pas 3 vu que le module est 2.

Pour d-g c'est bon jai fais une erreur d'étourderie la forme trigonométrique est bien
d-g = 2(cos(pi/6) + isin(pi/6))

En revanche pour a-g tu as mal lu puisque je trouve que l'argument est 2pi/3 et je crois que 2pi/3 = -pi/3 non ?

[fiatlux]

je crois que 2pi/3 = -pi/3 non ?

Non

Preuve:



l'argument d'un nombre complexe se calcule comme l'arctan(Im{z}/Re{z}) donc

(si jamais arctan(-x)=-arctan(x). C'est utile à savoir, ça.)

[ansset]

désolé,
je n'avais pas vu le mess#2 pour la simple raison que j'ecrivais le mien en même temps.

[invitea97b4264]

je n'ai pas encore ce qu'est l'arctan mais je ne comprends pas ou est mon erreur je détaille :

a-g = -1 + i*Racine3

!-1 + i*Racine3! = 2

Donc {-1 = 2cosTéta => {cosTéta = -1/2
{Racine3 = 2sinTéta {sinTéta = Racine3/2

Donc Téta = 2pi/3

Jai fais les vérifications a la calculette c'est correct donc je ne comprends pas

[ansset]

je n'ai pas encore ce qu'est l'arctan mais je ne comprends pas ou est mon erreur je détaille :

a-g = -1 + i*Racine3

!-1 + i*Racine3! = 2

Donc {-1 = 2cosTéta => {cosTéta = -1/2
{Racine3 = 2sinTéta {sinTéta = Racine3/2

Donc Téta = 2pi/3

Jai fais les vérifications a la calculette c'est correct donc je ne comprends pas

oui c'est ça, mais 2pi/3 n'est pas -pi/3

[fiatlux]

tu ne connais pas l'arctan?? l'arctangente ?? c'est hyper bizarre..... bref.

En revanche mes plus plates excuses je t'ai dit une con**rie énorme et tu as parfaitement raison (désolé pour la perte de temps)

Pour la suite tu peux déjà voir que le point b est le symétrique (par rapport à l'axe réel) du point a et même chose pour c et d. Donc le cercle est centré sur l'axe réel (ça t'évite des calculs superflus en sachant directement que sa partie imaginaire est nulle). Donc tu cherches un point de coordonnées (x,y)=(x,0) tel que sa distance par rapport à a,b,c ou d est la même.

Distance entre 2 point du plan si jamais: A(m,n) et B(p,q)

[invitea97b4264]

oui c'est ça, mais 2pi/3 n'est pas -pi/3

Oui je sais c'est une erreur d'étourderie ^^ Mais si ces résultats sont corrects je ne vois pas comment justifier pour la 1)b. :S

[invitea97b4264]

Pour la suite tu peux déjà voir que le point b est le symétrique (par rapport à l'axe réel) du point a et même chose pour c et d. Donc le cercle est centré sur l'axe réel (ça t'évite des calculs superflus en sachant directement que sa partie imaginaire est nulle). Donc tu cherches un point de coordonnées (x,y)=(x,0) tel que sa distance par rapport à a,b,c ou d est la même.

Je ne comprends pas du tout ta démarche :S Tu naurais pas une méthode simple pour cette question ? On doit pouvoir se servie de l'équation de cercle ou quelque chose dans le genre parce que pour utiliser ta méthode il faut prouver que le centre du cercle se situe sur l'axe des réels et ca me parait compliqué à mon niveau

[ansset]

tous les points sont à equidistance de G car les modules ( a-g, b-g, etc.. )valent tous 2.

g = -2 +i*0 donc sur l'axe des réels

[invitea97b4264]

Je vais essayer ta technique elle me parait plus simple merci a vous ! je vous recontacte si problème ! ^^

[fiatlux]

En fait c'est la même Si on t'a fait calculer a-g et d-g c'est pas un hasard. Dans les 2 cas le module donne 2 (donc la distance est 2). Si tu calcules encore b-g et c-g tu verras que c'est aussi le cas et donc g est le centre du cercle.
Ma "technique" c'est pour le cas général, où tu n'as aucune idée d'où est le centre du cercle. Ici on a pu le déduire de ce qu'on a fait précédemment.

[invitea97b4264]

Je bloque encore sur les deux dernières questions voici les énoncés :

5. Justifier que les points H, D et A sont alignés.
6. Déterminer une mesure de l'angle (vecteur HD, vecteur HC). Préciser la nature du triangle HDC.

Merci pour votre aide !

[invitea97b4264]

Pour la question 5 :

J'ai pensé que l'on pouvait utiliser la relation (vecteur HD, vecteur HA) = arg((a-h) / (d-h))
Ainsi, si on trouve que l'argument de l'angle est égal à pi, soit 180°, on peut en déduire que les points sont alignés.
Mais cette technique me semble un peu laborieuse, n'y aurai t-il pas une méthode plus simple ??

[ansset]

tu complique un peu, il suffit de montrer que h-a est multiple de h-d..

coup de main : le rapport est sqrt(3)

[invitea97b4264]

tu complique un peu, il suffit de montrer que h-a est multiple de h-d..

coup de main : le rapport est sqrt(3)

Je ne comprends pas :S Et comment tu prouves l'utilisation de ce que tu fais ici ?
Il y a peut etre un moyen d'utilisre la colinéarité mais je ne l'ai pas du tout abordée avec le chapitre complexes je ne pense pas que ca soit ca

[ansset]

Je ne comprends pas :S Et comment tu prouves l'utilisation de ce que tu fais ici ?
Il y a peut etre un moyen d'utilisre la colinéarité mais je ne l'ai pas du tout abordée avec le chapitre complexes je ne pense pas que ca soit ca

un nombre complexe peut aussi s'interpreter de façon vectorielle.
et si les "vecteurs" HD et HA sont proportionels alors H,D,A sont alignés.....

[ansset]

et dit autrement si on veut rester dans les complexes :
si h-a=k(h-d) avec un k réel .
alors on deduit que :
arg(h-a)=arg(k)+arg(h-d) = arg(h-d) ou arg(h-d)+pi
donc h,a,d alignés.

[invitea97b4264]

jai du mal à comprendre ton raisonnement est ce que tu peux m'expliquer comment tu arrives à ces relations ? :S

[invitea97b4264]

Si quelqu'un dautre veut maider, il est le bienvenu je rame vraiment la

[invitea97b4264]

Je bloque toujours sur la question 5 et 6 message #19 ! Si quelqu'un s'y connait un peu sur le sujet ce serait sympa de me donner quelques pistes que je puisse terminer ce devoir sil vous plait !

Merci.