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Arguments - nombres complexes



  1. #1
    loveday83

    Unhappy Arguments - nombres complexes


    ------

    Bonjour à tous, je suis nouvelle sur ce forum alors désolée d'avance si je fais quelques erreurs ... lol
    J'ai un dm à faire pour la rentrée mais une "petite" question me pose problème.
    Enoncé : Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct (O; d'unité graphique 4cm
    On note A le point d'affixe i
    A tout point M du plan, distinct de A et d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z'= iz/(z-i)

    La question est : Montrer que pour tout point M distinct de O et de A on a : (vecteur u;vecteur OM') = pi/2 + (vecteur AM ; vecteur OM)
    Je ne vois pas à quoi correspond ( vecteur u; vecteur OM')... à arg(z') ?
    et je n'arrive pas à faire les calculs...

    Merci d'avance pour votre aide (et désolé pour la rédaction du message ms je ne trouve pas les symboles... :-s)

    -----

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  3. #2
    Arkangelsk

    Re : Arguments - nombres complexes

    Bonjour et bienvenue sur le forum !

    (O;)
    Est-ce que tu veux dire ?

    ( vecteur u; vecteur OM')... à arg(z') ?
    C'est exact, si est bien le premier vecteur unitaire.

    A tout point M du plan, distinct de A et d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z'= iz/(z-i)

    La question est : Montrer que pour tout point M distinct de O et de A on a : (vecteur u;vecteur OM') = pi/2 + (vecteur AM ; vecteur OM)
    Comment calcule-t-on l'argument d'un quotient ?
    PS : (et désolé pour la rédaction du message ms je ne trouve pas les symboles... :-s)
    Pour les symboles, c'est ici : Latex

  4. #3
    loveday83

    Re : Arguments - nombres complexes

    Merci beaucoup pour ce coup de main !!
    le vecteur u est bien le premier vecteur
    Pour calculer l'argument du quotient je ne vois pas du tout la méthode... :-s pouvez vous m'éclairer un peu plus ?

  5. #4
    Arkangelsk

    Re : Arguments - nombres complexes

    Si et sont des complexes et si est non nul,

    On pose

    Que vaut ? C'est normalement une relation du cours...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    loveday83

    Re : Arguments - nombres complexes

    euhh arg(z) = arg (b) - arg (a) ? (j'ai manqué une partie du cours et je n'ai pas encore eu les photocopies... :-s)

  8. #6
    Arkangelsk

    Re : Arguments - nombres complexes

    Citation Envoyé par loveday83 Voir le message
    euhh arg(z) = arg (b) - arg (a) ? (j'ai manqué une partie du cours et je n'ai pas encore eu les photocopies... :-s)
    Non !!

    Maintenant, applique ce résultat à ton exercice.

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  10. #7
    loveday83

    Re : Arguments - nombres complexes

    alors ça me donne arg(z) = arg(iz) - arg(z-i) mais est ce qu'on peut faire arg(i) + arg(z/(z-i) pour trouver le pi/2 ?
    (je suis pas encore au top pr les symboles...)

  11. #8
    Arkangelsk

    Re : Arguments - nombres complexes

    Citation Envoyé par loveday83 Voir le message
    alors ça me donne arg(z) = arg(iz) - arg(z-i) mais est ce qu'on peut faire arg(i) + arg(z/(z-i) pour trouver le pi/2 ?
    (je suis pas encore au top pr les symboles...)
    Est-ce que tu es sûre ? Pour les symboles, as-tu consulté le lien que je t'ai indiqué ?

  12. #9
    loveday83

    Re : Arguments - nombres complexes

    re bonjour !!
    en fait j'ai relu un exemple de mon cours et c'est la méthode qu'utilisait mon prof... et j'arrive à démontrer ce qui était demandé...
    Après j'ai une autre petite question que je ne comprends pas vraiment j'espère que vous pourrez encore m'aider :
    Déterminer l'ensemble (\Gamma) des points M tel que z' soit un nombre réel.
    Là, je trouve comme résultat : (\overrightarrow{AM};\overrigh tarrow{OM}) = + ou - \pi /2 mais je ne sais pas à quoi ça correspond comme ensemble un cercle de diamètre [AO] ?
    Merci d'avance

  13. #10
    loveday83

    Re : Arguments - nombres complexes

    J'ai suivi votre lien mais apparemment ça n'a pas marché... j'ai dû sauter une étape... désolée

  14. #11
    Arkangelsk

    Re : Arguments - nombres complexes

    Bonjour,

    Citation Envoyé par loveday83 Voir le message
    J'ai suivi votre lien mais apparemment ça n'a pas marché... j'ai dû sauter une étape... désolée
    N'oublie pas les balises !

    Pour avoir , il faut taper (sans faire mal) \gamma et ajouter les balises (en haut à droite).

    Il suffit d'éditer le message pour voir les balises utilisées.

  15. #12
    loveday83

    Re : Arguments - nombres complexes

    Ah oui ça y est je viens de comprendre le principe ouf !!
    Je vous recopie correctement mon message :

    en fait j'ai relu un exemple de mon cours et c'est la méthode qu'utilisait mon prof... et j'arrive à démontrer ce qui était demandé...
    Après j'ai une autre petite question que je ne comprends pas vraiment j'espère que vous pourrez encore m'aider :
    Déterminer l'ensemble () des points M tel que z' soit un nombre réel.
    Là, je trouve comme résultat : (;) = + ou - /2 mais je ne sais pas à quoi ça correspond comme ensemble un cercle de diamètre [AO] ?
    Merci d'avance

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  17. #13
    Arkangelsk

    Re : Arguments - nombres complexes

    Bonjour,

    J'ai un petit doute : pour quelle question as-tu trouvé l'angle que tu donnes valant ou ?

  18. #14
    loveday83

    Re : Arguments - nombres complexes

    J'ai trouvé ce résultat pour la question :
    Déterminer l'ensemble des points M tel que z' soit un nombre réel

  19. #15
    Arkangelsk

    Re : Arguments - nombres complexes

    Citation Envoyé par loveday83 Voir le message
    J'ai trouvé ce résultat pour la question :
    Déterminer l'ensemble des points M tel que z' soit un nombre réel
    OK. Comment as-tu procédé pour arriver à ce résultat ?

  20. #16
    loveday83

    Re : Arguments - nombres complexes

    Alors j'ai dit que pour que z'=a on a soit :
    arg(z') = 0 à 2 près
    arg(z') = à 2 près
    Or arg(z') = / 2 + ( ; )
    En remplaçant on a soit : 0 = /2 + ( ; ) donc (; ) = - /2
    Soit : = /2 + ( ; ) donc ( ; ) = /2
    D'où ( ; ) = + ou - /2 ce n'est pas ça ?

  21. #17
    Arkangelsk

    Re : Arguments - nombres complexes

    Citation Envoyé par loveday83 Voir le message
    Alors j'ai dit que pour que z'=a on a soit :
    arg(z') = 0 à 2 près
    arg(z') = à 2 près
    Or arg(z') = / 2 + ( ; )
    En remplaçant on a soit : 0 = /2 + ( ; ) donc (; ) = - /2
    Soit : = /2 + ( ; ) donc ( ; ) = /2
    D'où ( ; ) = + ou - /2 ce n'est pas ça ?
    OK. Je reprends point par point.

    arg(z') = 0 à 2 près
    Oui, si . A préciser.

    arg(z') = à 2
    Oui, si si . Idem.

    Pour le reste, je suis d'accord. Le problème, c'est qu'ici tu as une relation sur un angle alors qu'on te demande un ensemble de points (par exemple, équation d'une droite, d'une ellipse, etc.). Je pense que tu peux aboutir si tu continues dans cette voie, mais ce n'est pas la méthode "standard".

    Le plus simple est de séparer les parties réelle et imaginaire de est d'exprimer le fait que est un réel, donc ... . Je te laisse poursuivre...

    PS : Tu te débrouilles bien maintenant avec le Latex !
    Dernière modification par Arkangelsk ; 01/11/2008 à 11h08.

  22. #18
    loveday83

    Re : Arguments - nombres complexes

    Ah d'accord
    Donc je trouve Im(z') = (z2i) / (z2+1)
    et pour Re(z') = -z/(z2 +1) C'est bien ça ?

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  24. #19
    Arkangelsk

    Re : Arguments - nombres complexes

    Citation Envoyé par loveday83 Voir le message
    Ah d'accord
    Donc je trouve Im(z') = (z2i) / (z2+1)
    et pour Re(z') = -z/(z2 +1) C'est bien ça ?
    Ah ... Non !!!

    Quelles sont les parties réelle et imaginaire de , si tu écris sous forme algébrique ?
    Dernière modification par Arkangelsk ; 01/11/2008 à 11h17.

  25. #20
    loveday83

    Re : Arguments - nombres complexes

    alors on pose z=x+iy
    ça me donne : (xi-y)/(x+i(y-1)) donc là je calcule le conjugué ?!
    là je trouve : (-x + x2i) / (x2 + (y-1)2) mais ça me paraît bizarre comme résultat... :-s

  26. #21
    Arkangelsk

    Re : Arguments - nombres complexes

    Tu vas trop vite !

    alors on pose z=x+iy
    Je te repose la question, même si la réponse est triviale :

    Quelles sont les parties réelle et imaginaire de , si tu l' écris sous forme algébrique ?

    là je trouve : (-x + x²i) / (x² + (y-1)2) mais ça me paraît bizarre comme résultat... :-s
    Non, ce n'est pas ça . Sépare bien les parties réelle et imaginaire de .

  27. #22
    loveday83

    Re : Arguments - nombres complexes

    Ohlala je suis vraiment pas douée en math lol
    En fait je comprends pas : sous forme algébrique c'est pas quand on pose z=x+iy ?

  28. #23
    Arkangelsk

    Re : Arguments - nombres complexes

    Citation Envoyé par loveday83 Voir le message
    Ohlala je suis vraiment pas douée en math lol
    En fait je comprends pas : sous forme algébrique c'est pas quand on pose z=x+iy ?
    Bon. On peut exprimer un nombre complexe sous trois formes (au moins...) :

    - La forme algébrique :
    - La forme exponentielle : , où est un argument de .
    - La forme trigonométrique : , où est un argument de .

    Ces trois expressions sont équivalentes.

    est donc bien la forme algébrique, qui permet de visualiser clairement les parties réelle et imaginaire de . Quelles sont-elles ?

    PS : Ne pas chercher pendant trois heures .

  29. #24
    loveday83

    Re : Arguments - nombres complexes

    Ca y est je pense avoir trouvé ... j'espère que vous n'êtes pas parti...
    Je vs détaille mes calculs : (j'ai posé z=x+iy)
    (i(x+iy))/(x+iy-1) = (xi-y)/(x+i(y-1))
    ensuite : (x2i - y2i +yi - 2xy + x)/(x2 + (y-1)2)
    Ce qui me donne : Re(z') = -2xy+x/(x2+(y-1)2)
    et Im(z') = [(x2-y2+y)/(x2+(y-1)2)]i
    J'espère que je suis dans le bonne voie. ... :-s

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  31. #25
    Arkangelsk

    Re : Arguments - nombres complexes

    Citation Envoyé par loveday83 Voir le message
    Ca y est je pense avoir trouvé ... j'espère que vous n'êtes pas parti...
    Je vs détaille mes calculs : (j'ai posé z=x+iy)
    (i(x+iy))/(x+iy-1) = (xi-y)/(x+i(y-1))
    ensuite : (x2i - y2i +yi - 2xy + x)/(x2 + (y-1)2)
    Ce qui me donne : Re(z') = -2xy+x/(x2+(y-1)2)
    et Im(z') = [(x2-y2+y)/(x2+(y-1)2)]i
    J'espère que je suis dans le bonne voie. ... :-s
    Non, je ne suis pas encore parti, mais je n'en ai plus pour très longtemps. Tu pourras regarder mon message juste au-dessus et répondre à ma petite question.

    La méthode est la bonne mais il y a des erreurs de calcul. Le conjugué de est donc le conjugué de est . A toi...

  32. #26
    loveday83

    Re : Arguments - nombres complexes

    Je fais tout le temps des erreurs de signes !! lol
    Maintenant je trouve (x2i+y2i-yi-x) / (x2+(y-1)2)
    donc Re(z') = -x /(x2+(y-1)2)
    et Im(z') = (x2+y2-y)/(x2+(y-1)2)
    Je crois que c'est bon , nan ?

  33. #27
    Arkangelsk

    Re : Arguments - nombres complexes

    Oui, cela me semble correct. Alors, qu'est-ce qu'on fait maintenant ?

  34. #28
    loveday83

    Re : Arguments - nombres complexes

    Et bien maintenant on résoud l'équation :
    (x2+y2-y)/((x2+(y-1)2) = 0
    soit x2+y2-y =0
    C'est l'équation d'un cercle ?! Je dois y aller je reviens après... je vous passe mon msn ?

  35. #29
    Arkangelsk

    Re : Arguments - nombres complexes

    Citation Envoyé par loveday83 Voir le message
    Et bien maintenant on résoud l'équation :
    (x2+y2-y)/((x2+(y-1)2) = 0
    soit x2+y2-y =0
    C'est l'équation d'un cercle ?! Je dois y aller je reviens après... je vous passe mon msn ?
    Bah, on peut toujours continuer ici. Tu pourras répondre à ma question qui est restée en suspens, à laquelle j'ajoute : comment exprimer parties réelle et imaginaire à partir des deux autres formes ?

  36. #30
    loveday83

    Re : Arguments - nombres complexes

    D'accord
    avec z=x+iy la partie réelle est x et la partie imaginaire est y
    je ne peux pas répondre à la deuxième question je n'ai pas encore étudié ces 2 méthodes...

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