Arguments - nombres complexes

invite108beabc · 30/10/2008, 11h33

Bonjour à tous, je suis nouvelle sur ce forum alors désolée d'avance si je fais quelques erreurs ... lol
J'ai un dm à faire pour la rentrée mais une "petite" question me pose problème.
Enoncé : Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct (O;

d'unité graphique 4cm
On note A le point d'affixe i
A tout point M du plan, distinct de A et d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z'= iz/(z-i)

La question est : Montrer que pour tout point M distinct de O et de A on a : (vecteur u;vecteur OM') = pi/2 + (vecteur AM ; vecteur OM)
Je ne vois pas à quoi correspond ( vecteur u; vecteur OM')... à arg(z') ?
et je n'arrive pas à faire les calculs...

Merci d'avance pour votre aide (et désolé pour la rédaction du message ms je ne trouve pas les symboles... :-s)

**Arkangelsk** · 30/10/2008, 11h43

Bonjour et bienvenue sur le forum

!

(O;

)

Est-ce que tu veux dire $\text{[math]}$ ?

( vecteur u; vecteur OM')... à arg(z') ?

C'est exact, si $\text{[math]}$ est bien le premier vecteur unitaire.

A tout point M du plan, distinct de A et d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z'= iz/(z-i)

La question est : Montrer que pour tout point M distinct de O et de A on a : (vecteur u;vecteur OM') = pi/2 + (vecteur AM ; vecteur OM)

Comment calcule-t-on l'argument d'un quotient ?

PS : (et désolé pour la rédaction du message ms je ne trouve pas les symboles... :-s)

Pour les symboles, c'est ici : Latex

invite108beabc · 30/10/2008, 18h35

Merci beaucoup pour ce coup de main !!

le vecteur u est bien le premier vecteur
Pour calculer l'argument du quotient je ne vois pas du tout la méthode... :-s pouvez vous m'éclairer un peu plus ?

**Arkangelsk** · 30/10/2008, 18h51

Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des complexes et si $\text{[math]}$ est non nul,

On pose $\text{[math]}$

Que vaut $\text{[math]}$ ? C'est normalement une relation du cours...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite108beabc · 30/10/2008, 18h55

euhh arg(z) = arg (b) - arg (a) ? (j'ai manqué une partie du cours et je n'ai pas encore eu les photocopies... :-s)

**Arkangelsk** · 30/10/2008, 19h16

Envoyé par loveday83

euhh arg(z) = arg (b) - arg (a) ? (j'ai manqué une partie du cours et je n'ai pas encore eu les photocopies... :-s)

Non !! $\text{[math]}$

Maintenant, applique ce résultat à ton exercice.

invite108beabc · 30/10/2008, 19h26

alors ça me donne arg(z) = arg(iz) - arg(z-i) mais est ce qu'on peut faire arg(i) + arg(z/(z-i) pour trouver le pi/2 ?
(je suis pas encore au top pr les symboles...)

**Arkangelsk** · 30/10/2008, 19h57

Envoyé par loveday83

alors ça me donne arg(z) = arg(iz) - arg(z-i) mais est ce qu'on peut faire arg(i) + arg(z/(z-i) pour trouver le pi/2 ?
(je suis pas encore au top pr les symboles...)

Est-ce que tu es sûre

? Pour les symboles, as-tu consulté le lien que je t'ai indiqué ?

invite108beabc · 31/10/2008, 16h37

re bonjour !!
en fait j'ai relu un exemple de mon cours et c'est la méthode qu'utilisait mon prof... et j'arrive à démontrer ce qui était demandé...
Après j'ai une autre petite question que je ne comprends pas vraiment j'espère que vous pourrez encore m'aider :
Déterminer l'ensemble (\Gamma) des points M tel que z' soit un nombre réel.
Là, je trouve comme résultat : (\overrightarrow{AM};\overrigh tarrow{OM}) = + ou - \pi /2 mais je ne sais pas à quoi ça correspond comme ensemble un cercle de diamètre [AO] ?
Merci d'avance

invite108beabc · 31/10/2008, 16h38

J'ai suivi votre lien mais apparemment ça n'a pas marché... j'ai dû sauter une étape... désolée

**Arkangelsk** · 31/10/2008, 16h54

Bonjour,

Envoyé par loveday83

J'ai suivi votre lien mais apparemment ça n'a pas marché... j'ai dû sauter une étape... désolée

N'oublie pas les balises $\text{[math]}$ !

Pour avoir $\text{[math]}$ , il faut taper (sans faire mal) \gamma et ajouter les balises $\text{[math]}$ (en haut à droite).

Il suffit d'éditer le message pour voir les balises utilisées.

invite108beabc · 01/11/2008, 10h03

Ah oui ça y est je viens de comprendre le principe ouf !!

Je vous recopie correctement mon message :

en fait j'ai relu un exemple de mon cours et c'est la méthode qu'utilisait mon prof... et j'arrive à démontrer ce qui était demandé...
Après j'ai une autre petite question que je ne comprends pas vraiment j'espère que vous pourrez encore m'aider :
Déterminer l'ensemble ( $\text{[math]}$ ) des points M tel que z' soit un nombre réel.
Là, je trouve comme résultat : ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ) = + ou - $\text{[math]}$ /2 mais je ne sais pas à quoi ça correspond comme ensemble un cercle de diamètre [AO] ?
Merci d'avance

**Arkangelsk** · 01/11/2008, 10h29

Bonjour,

J'ai un petit doute : pour quelle question as-tu trouvé l'angle que tu donnes valant $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ ?

invite108beabc · 01/11/2008, 10h38

J'ai trouvé ce résultat pour la question :
Déterminer l'ensemble des points M tel que z' soit un nombre réel

**Arkangelsk** · 01/11/2008, 10h43

Envoyé par loveday83

J'ai trouvé ce résultat pour la question :
Déterminer l'ensemble des points M tel que z' soit un nombre réel

OK. Comment as-tu procédé pour arriver à ce résultat ?

invite108beabc · 01/11/2008, 10h53

Alors j'ai dit que pour que z'=a on a soit :
arg(z') = 0 à 2 $\text{[math]}$ près
arg(z') = $\text{[math]}$ à 2 $\text{[math]}$ près
Or arg(z') = $\text{[math]}$ / 2 + ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ )
En remplaçant on a soit : 0 = $\text{[math]}$ /2 + ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ) donc ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ) = - $\text{[math]}$ /2
Soit : $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ /2 + ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ) donc ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ) = $\text{[math]}$ /2
D'où ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ) = + ou - $\text{[math]}$ /2 ce n'est pas ça ?

**Arkangelsk** · 01/11/2008, 11h04

Envoyé par loveday83

Alors j'ai dit que pour que z'=a on a soit :
arg(z') = 0 à 2 $\text{[math]}$ près
arg(z') = $\text{[math]}$ à 2 $\text{[math]}$ près
Or arg(z') = $\text{[math]}$ / 2 + ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ )
En remplaçant on a soit : 0 = $\text{[math]}$ /2 + ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ) donc ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ) = - $\text{[math]}$ /2
Soit : $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ /2 + ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ) donc ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ) = $\text{[math]}$ /2
D'où ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ) = + ou - $\text{[math]}$ /2 ce n'est pas ça ?

OK. Je reprends point par point.

arg(z') = 0 à 2 $\text{[math]}$ près

Oui, si $\text{[math]}$ . A préciser.

arg(z') = $\text{[math]}$ à 2 $\text{[math]}$

Oui, si si $\text{[math]}$ . Idem.

Pour le reste, je suis d'accord. Le problème, c'est qu'ici tu as une relation sur un angle alors qu'on te demande un ensemble de points (par exemple, équation d'une droite, d'une ellipse, etc.). Je pense que tu peux aboutir si tu continues dans cette voie, mais ce n'est pas la méthode "standard".

Le plus simple est de séparer les parties réelle et imaginaire de $\text{[math]}$ est d'exprimer le fait que $\text{[math]}$ est un réel, donc ...

. Je te laisse poursuivre...

PS : Tu te débrouilles bien maintenant avec le Latex

!

invite108beabc · 01/11/2008, 11h09

Ah d'accord
Donc je trouve Im(z') = (z²i) / (z²+1)
et pour Re(z') = -z/(z² +1) C'est bien ça ?

**Arkangelsk** · 01/11/2008, 11h14

Envoyé par loveday83

Ah d'accord
Donc je trouve Im(z') = (z²i) / (z²+1)
et pour Re(z') = -z/(z² +1) C'est bien ça ?

Ah ... Non !!!

Quelles sont les parties réelle et imaginaire de $\text{[math]}$ , si tu écris $\text{[math]}$ sous forme algébrique ?

invite108beabc · 01/11/2008, 11h21

alors on pose z=x+iy
ça me donne : (xi-y)/(x+i(y-1)) donc là je calcule le conjugué ?!
là je trouve : (-x + x²i) / (x² + (y-1)²) mais ça me paraît bizarre comme résultat... :-s

**Arkangelsk** · 01/11/2008, 11h27

Tu vas trop vite !

alors on pose z=x+iy

Je te repose la question, même si la réponse est triviale :

Quelles sont les parties réelle et imaginaire de $\text{[math]}$ , si tu l' écris sous forme algébrique ?

là je trouve : (-x + x²i) / (x² + (y-1)2) mais ça me paraît bizarre comme résultat... :-s

Non, ce n'est pas ça

. Sépare bien les parties réelle et imaginaire de $\text{[math]}$ .

invite108beabc · 01/11/2008, 11h32

Ohlala je suis vraiment pas douée en math lol
En fait je comprends pas : sous forme algébrique c'est pas quand on pose z=x+iy ?

**Arkangelsk** · 01/11/2008, 11h52

Envoyé par loveday83

Ohlala je suis vraiment pas douée en math lol
En fait je comprends pas : sous forme algébrique c'est pas quand on pose z=x+iy ?

Bon. On peut exprimer un nombre complexe sous trois formes (au moins...) :

- La forme algébrique : $\text{[math]}$
- La forme exponentielle : $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ est un argument de $\text{[math]}$ .
- La forme trigonométrique : $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ est un argument de $\text{[math]}$ .

Ces trois expressions sont équivalentes.

$\text{[math]}$ est donc bien la forme algébrique, qui permet de visualiser clairement les parties réelle et imaginaire de $\text{[math]}$ . Quelles sont-elles ?

PS : Ne pas chercher pendant trois heures

.

invite108beabc · 01/11/2008, 11h53

Ca y est je pense avoir trouvé ... j'espère que vous n'êtes pas parti...
Je vs détaille mes calculs : (j'ai posé z=x+iy)
(i(x+iy))/(x+iy-1) = (xi-y)/(x+i(y-1))
ensuite : (x²i - y²i +yi - 2xy + x)/(x² + (y-1)²)
Ce qui me donne : Re(z') = -2xy+x/(x²+(y-1)²)
et Im(z') = [(x²-y²+y)/(x²+(y-1)²)]i
J'espère que je suis dans le bonne voie. ... :-s

**Arkangelsk** · 01/11/2008, 12h10

Envoyé par loveday83

Ca y est je pense avoir trouvé ... j'espère que vous n'êtes pas parti...
Je vs détaille mes calculs : (j'ai posé z=x+iy)
(i(x+iy))/(x+iy-1) = (xi-y)/(x+i(y-1))
ensuite : (x²i - y²i +yi - 2xy + x)/(x² + (y-1)²)
Ce qui me donne : Re(z') = -2xy+x/(x²+(y-1)²)
et Im(z') = [(x²-y²+y)/(x²+(y-1)²)]i
J'espère que je suis dans le bonne voie. ... :-s

Non, je ne suis pas encore parti, mais je n'en ai plus pour très longtemps. Tu pourras regarder mon message juste au-dessus et répondre à ma petite question.

La méthode est la bonne mais il y a des erreurs de calcul. Le conjugué de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ donc le conjugué de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ . A toi...

invite108beabc · 01/11/2008, 12h17

Je fais tout le temps des erreurs de signes !! lol
Maintenant je trouve (x²i+y²i-yi-x) / (x²+(y-1)²)
donc Re(z') = -x /(x²+(y-1)²)
et Im(z') = (x²+y²-y)/(x²+(y-1)²)
Je crois que c'est bon , nan ?

**Arkangelsk** · 01/11/2008, 12h22

Oui, cela me semble correct. Alors, qu'est-ce qu'on fait maintenant ?

invite108beabc · 01/11/2008, 12h25

Et bien maintenant on résoud l'équation :
(x²+y²-y)/((x²+(y-1)²) = 0
soit x²+y²-y =0
C'est l'équation d'un cercle ?! Je dois y aller je reviens après... je vous passe mon msn ?

**Arkangelsk** · 01/11/2008, 12h29

Envoyé par loveday83

Et bien maintenant on résoud l'équation :
(x²+y²-y)/((x²+(y-1)²) = 0
soit x²+y²-y =0
C'est l'équation d'un cercle ?! Je dois y aller je reviens après... je vous passe mon msn ?

Bah, on peut toujours continuer ici. Tu pourras répondre à ma question qui est restée en suspens, à laquelle j'ajoute : comment exprimer parties réelle et imaginaire à partir des deux autres formes ?

invite108beabc · 01/11/2008, 12h33

D'accord

avec z=x+iy la partie réelle est x et la partie imaginaire est y
je ne peux pas répondre à la deuxième question je n'ai pas encore étudié ces 2 méthodes...

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