Une question qui peut sembler assez simple mais dont je n’arrive pas à trouver la réponse depuis une semaine
Il faut démontrer que E U (F ∩ G) = (E U F) ∩ (E U G)
J’ai commencé comme ça :
Soit x∈E U (F ∩ G) donc x∈E ou x∈F ∩ G d’où : x∈F⊂(E U F) et x∈G⊂(E U G)
Finalement x∈(E U F)∩(E U G)
Est-ce juste ? je n’arrive pas à démontrer que le deuxième ensemble est inclus dans le premier si quelqu’un pouvait aider…
de mon temps on faisait des dessins "en patates" (diagrammes de Venn) ça aidait à comprendre et à imaginer la démonstration.
wé j'en ai fait un ça aide à voir que c'est effectivement vrai mais ça ne m'aide pas vraiment pour la démonstration
j'ai dit soit x∈(E U F)∩(E U G)
donc x∈(E U F) et x∈(E U G)
si x∈F alors x∈G
sinon x∈E
donc x∈E U (F ∩ G)
mais ça me parait un peu léger
Le plus simple est de faire une table de vérité, c'est à dire un petit tableau qui liste les 8 cas possible selon l'appartenance de x à E,F et G
par exemple on met un 0 pour indiquer que x n'appartiens pas à E, F ou G et un 1 sinon ca donne :
E F G
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
puis on calcule dans chacun des cas si x apprtiens ou non à E union (F inter G )
on trouve dans l'ordre :
0
0
0
1
1
1
1
1
on fait de même avec l'autre ensemble, et si on trouve encore la même chose c'est qu'ils sont égaux (et sinon, ba non ! )
merci je n'y avais pas pensé
La méthode décrite par Ksilver me semble être la plus appropriée, toutefois on peut aussi tenter une démonstration directe.
Montrons que tout élément de (E U F) ∩ (E U G) est aussi un élément de E U (F ∩ G).
Soit x un tel élément.
Si x appartient à E, alors c'est fini, x est bien dans E U (F ∩ G).
Supposons maintenant que x n'appartient pas a E.
Comme x est dans (E U F) et n'est pas dans E, alors nécessairement x appartient à F.
De même, comme x appartient à (E U G) mais pas à E, x appartient à G.
Ainsi, x est dans F et dans G, donc x est bien dans (F ∩ G) et par suite dans E U (F ∩ G).
