démonstration concernant le nombre d'or

[invite0b0ee8b7]

Bonjour,

Heu voilà j'ai un ti problème, ça fait plusieurs jours que je lutte pour démontrer grâce aux formules d'Euler que cos(pi/5)=phi/2 (phi étant le nombre d'or, phi = (1+sqrt(5))/2 alors si quelqu'un peut m'aider !!

Merciiiiiiiiiiii
Anne
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[invite2c6a0bae]

je suis preneur aussi, je n'arrive pas a trouver cos pi/5

[invite4793db90]

Salut,

je te propose un plan de démonstration, qui utilise les nombres complexes:
Soit et
1) Que représente les racines du polynôme P ?
2) Démontrer que est solution de l'équation .
3) En remarquant que , prouver que est solution de l'équation .
4) Vérifier que le polynôme se factorise en .
5) En déduire la valeur de puis celle de .

Voili, il y quelques calculs... Mais il suffit d'être soigneux. Il y a peut-être une méthode plus directe, mais là, je ne vois pas.

Cette méthode a aussi le mérite d'être utilisable pour d'autres angles.

[invite0b0ee8b7]

oki

merci beaucoup pour la réponse, je vais essayer et je te dirais si ça a marché !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

Est-ce possible de démontrer géométriquement ? en imaginant un pentagone régulier inscrit dans un cercle. (juste une idée, rien de concrêt)

Shokin

[invite4793db90]

La démonstration que j'ai proposée s'appuie sur les racines cinquièmes (complexes) de l'unité dont l'interprétation géométrique est précisément les sommets d'un pentagone inscrit dans le cercle unité.

Est-ce que l'on peut se passer des calculs et utiliser des arguments strictement géométriques? C'est possible, mais je ne saurais pas en dire plus...

[invite9f29450d]

J'ai eu cette idée:

cos(2*pi/5) = 2* cos(pi/5)^2 -1
cos(4*pi/5)= 2* cos(2*pi/5)^2 -1 (1)

de (1) : cos(pi-pi/5)= 8*cos(pi/5)^4 +8*cos(pi/5)^2 +3
soit a resoudre ,en posant X=cos(pi/5):

8*X^4 - 8*X^2 + X +1=0

on a -1 et 1/2 comme racines evidentes on obtient donc:

8*(X+1)*(8*X^3 -8*X^2 +1) puis,
8*(X+1)*( 8*(X-1/2)*(X^2 -1/2 *X -1/4 ) )
donc a resoudre l'eq: 4*X^2 -2*X -1 = 0

X= (1 +- racine(5) )/4 soit phi/2 en prenant X >0

[invite4793db90]

Bravo! C'est astucieux et plus direct que la méthode que j'ai proposée!

Je rectifie juste une petite coquille: au lieu de

cos(pi-pi/5)= 8*cos(pi/5)^4 +8*cos(pi/5)^2 +3

il vaut mieux lire
cos(pi-pi/5)= 8*cos(pi/5)^4 -8*cos(pi/5)^2 +1

[shokin]

cos(2*pi/5) = 2* cos(pi/5)^2 -1
cos(4*pi/5)= 2* cos(2*pi/5)^2 -1 (1)

Comment arrives-tu là ?

Si je comprends ça, je comprends le reste.

Shokin

[invite4793db90]

C'est une des formules de duplications:
cos(2x)=2cos²x-1
On peut la déduire des formules d'addition (vive la trigo!)

[shokin]

Ah ! ok !

faudra que je me remette à ces formules de trigo !

Shokin

[invite9f29450d]

Bravo! C'est astucieux et plus direct que la méthode que j'ai proposée!

Je rectifie juste une petite coquille: au lieu de
il vaut mieux lire
cos(pi-pi/5)= 8*cos(pi/5)^4 -8*cos(pi/5)^2 +1

Exact! j'ai recopié betement la faute que j'avais fait en premiere instance sur mon brouillon .

[invite2ce4ce16]

Une démonstration géométrique, qu'un élève de 5e doit pouvoir comprendre (voire trouver).

Soit ABCDE un pentagône régulier de côté 1.
Appelons x, la distance AC=BD=CE=DA=EB.

On sait que la somme des angles d'un polygône régulier à n côté est (n-2)pi/n. EAB=ABC=BCD=CDE=DEA=3*pi/5

Les angles CBD=CAD=CED car B A et E sont tous sur un cercle dont CD est une corde. Par symétrie centrale d'ordre 5, on en déduit que BAC=CAD=DAE, et donc que BAC=CAD=DAE=pi/5.

En traçant les segments AC ED CE DA EB, on obtient un pentagone plus petit A'B'C'D'E', où A' est à l'intersection de DB et CE, B' de CE et AD, etc.

les triangles BAD' AEC' DEB' etc... sont homothétiques de BAE, EAD, CDE etc, car ils sont aussi isocèles dont l'angle double est pi/5. Ainsi, BD'=AD'=AC'=EC'=...=1/x.

D'après le théorème de Thalès, AD'/AC=D'C'/CD.
AD'=x-1, AC=x, CD=1 donc C'D'=1-1/x.

Enfin, BE=BD'+D'C'+C'E donc x=1/x+1-1/x+1/x soit x=1+1/x, x=phi.

Enfin, cos(pi/5)=(BE/2)/BA=x/2=phi/2.

[invitec314d025]

Une démonstration géométrique, qu'un élève de 5e doit pouvoir comprendre (voire trouver).

somme des angles d'un polygône, Thalès, triangles homothétiques ...
Je ne crois pas que ça parle beaucoup aux élèves de 5ème

[invite2ce4ce16]

somme des angles d'un polygône, Thalès, triangles homothétiques ...
Je ne crois pas que ça parle beaucoup aux élèves de 5ème

Disons que j'ai appris ces trucs là en 5e... mais les programmes ont changés

[invite4793db90]

Disons que j'ai appris ces trucs là en 5e... mais les programmes ont changés

Salut,

jolie démonstration en tout cas. Aujourd'hui ce serait plutôt du niveau seconde.

Cordialement.

[BioBen]

Disons que j'ai appris ces trucs là en 5e.

Aujourd'hui ce serait plutôt du niveau seconde.

Lol

Ma soeur est en 4eme elle a fait thales et pythagore, mais les triangle homotétiques et symétries centrales et compagnie on voit ca qu'en 2nde je crois bien que tu as raison martini_bird !
Bon ma soeur est pas un exemple en math en même temps, déja qu'elle sache tracer un triange et ca ira

[invite2ce4ce16]

Lol

Ma soeur est en 4eme elle a fait thales et pythagore

Effectivement, j'ai vu thales en 4e maintenant que j'y pense.

mais les triangle homotétiques et symétries centrales et compagnie on voit ca qu'en 2nde je crois bien que tu as raison martini_bird !

Le résultat qui dit qu'un triangle est entièrement déterminé par deux angles et un côté, c'est vu si tard que ça... On peut sûrement voir ça sans prononcer le mot "homotéthie". Bon, alors va pour la seconde (j'espère que la trigo est vue en première ).

Sinon, il y a peut-être moyen de simplifier un peu.

[mécano41]

Bonjour !

Pour s'amuser un peu avec la géométrie, on peut tracer tout cela avec une règle et un compas (voir croquis joint) ; mais pour la démonstration, il faut quand même un peu de trigo.

On trace un carré ABCD de côté 1 et l'on trace M milieu de AB. On prolonge AB puis on trace un rayon MC coupant la droite en N.

MN = MC = SQR(0,5²+1²) = SQR(5/4) = SQR(5)/2
AN = AM + MN = 1/2+SQR(5)/2 = (1+SQR(5))/2 = nombre d'or

(C'était le tracé des artistes pour dessiner un rectangle ADSN "harmonieux")

On prolonge NS. On trace DO = AD = 1 (donc AO = 2), puis un rayon AO qui coupe cette droite en N au point P et enfin AP qui donne les angles alpha et beta (avec alpha + beta = pi/2)

cos(alpha)=AN/AP=(1+sqr(5))/4

Pour démontrer que alpha = pi/5, il suffit de démonter que beta = 3alpha/2 en calculant le cos(beta) à partir de cos(alpha) et en le comparant à cos(pi/2-alpha), c'est à dire sin(alpha).

On fait cos(3alpha) = 4(cos(alpha))^3-3cos(alpha)
On trouve : (1-SQR(5))/4

On fait cos(3alpha/2) = SQR(1+cos(3alpha))/2)
On trouve : cos(3alpha/2) = SQR(10-2.SQR(5))/4

A comparer avec sin(alpha) = PN/2 = SQR(2²-((1+SQR(5))/2)²)/2 = SQR(10-2.SQR(5))/4

Donc alpha = pi/5 et son cosinus est la moitié du nombre d'or.

A bientôt