Curieuse petite équation différentielle ...

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai essayé de résoudre : y'''- 2y'' + 2y' = 0 (histoire de rigoler un peu ) et je suis tombé sur une solution générale qui m'a étonné :

posons donc u = y'

u'' + 2u' +2u

équation caractéristique : r² - 2r + 2 = 0 -> r = 1 +/- i

u =

donc :



Comme :



On tombe finalement sur la SG :



mais essayons un peu de simplifier ça :

sin(x + B) = sin x sin B + cos x cos B

-cos(x + B) = -cos x cos B + sin x sinB

si on somme on a bien : 2sin(B)sin(x)

Donc :



-> donc nous n'avons que deux constantes arbitraires au lieu de trois.
Etrange pour équadiff. d'ordre trois non ?

On m'a pourtant apprit que la SG d'une équadiff d'ordre n dépendait de n constantes arbitraires.

Dois-je en conclure que c'est une exception à la règle ?

merci
-----

[invite2ce4ce16]

mais essayons un peu de simplifier ça :

sin(x + B) = sin x sin B + cos x cos B

Ne serait-ce pas plutôt sin(x+b)=sin x cos b + cos x sin b ?

Les théorèmes n'ont pas d'exceptions

[invite8915d466]

sin(x + B) = sin x sin B + cos x cos B

... faudrait déjà revoir tes formules trigo !

EDIT grillé lol

[Bleyblue]

En effet, excusez moi pour cette petite erreur de formule

Les théorèmes n'ont pas d'exceptions

Justement, est-ce vraiment un théorème ?

Je pense avoir entendut dire à l'époque que "dans certains cas pathologiques" cette règle pouvait ne pas être vérifiée ...

Auriez-vous un de ces cas à proposer ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Je pense avoir entendut dire à l'époque que "dans certains cas pathologiques" cette règle pouvait ne pas être vérifiée ...

Auriez-vous un de ces cas à proposer ?

Je connais effectivement un cas pathologique où cette formule s'applique, c'est le cas chez des gens qui ne connaissent pas leurs formules de trigonométrie.

Ouais, bon ...;

[Bleyblue]

Plutôt que de dire des *onneries, essayez de trouver un exemple

Non, plus sérieusement je pense vraiment qu'il y a moyen de trouver, il faudra que j'essaie de me renseigner auprès des professeurs (ils vont m'envoyer balader au début mais qui ne tente rien n'a rien ...)

[Bleyblue]

Et la solution de l'équation différentielle de mon premier message devient donc :



C'est amusant parceque la seule différence qu'il existe entre cette solution et celle de l'équation :

y'' - 2y' + 2y = 0

c'est le C3 final. Je ne m'y attendais pas ...

[inviteeac53e14]

En même temps, tu passes de l'une à l'autre par dérivation/intégration donc ce n'est pas si étonnant que cela...

[inviteeac53e14]

Je parlais des équations bien entendu.

[BioBen]

Non j'ai rien dit

[invite2ce4ce16]

Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire dit qu'il y a une solution unique étant donné une équa diff *linéaire*, et des conditions initiales. Voir que l'application qui à ces conditions initiales associe la solution est une bijection linéaire permet de prouver que l'ensemble des solutions a bien la dimension de l'espace de départ, d'où l'assurance d'avoir 3 variables C_i dans ce cas là.

voir par exemple http://www.les-mathematiques.net/a/a/k/node8.php3

[Bleyblue]

Moi en tout cas j'ai été rechercher mon chapitre sur les équations différentielles de l'année dernière et il est écrit :

La solution générale d'une équation différentielle d'ordre n comprend nécessairement n constantes arbitaires.

NOTE : Ce n'est qu'une constation, pas une théorème, car ce n'est vrai que dans la plupart des cas ...

...

[invite6b1e2c2e]

Je pense que tu peux mettre l'affirmation de ton professeur en doute. En tout cas, c'est sur pour une équation LINEAIRE, et ça s'appelle effectivement le théorème de Cauchy Lipschitz. Après, si tu fais des choses non linéaires, tu as des cas pathologiques.

Par exemple,


Bien sûr, y = 0 est solution, mais il y en a d'autres ! Par exemple,

Argh ! si on peut dire.
Mais sinon, dès que ton équation s'écrit
, avec A une matrice de taille d*d, alors l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension d car on a

(exp(tA) est forcément une matrice inversible)


__
rvz

PS : J'adore dire que les profs racontent n'importe quoi

[Bleyblue]

Eh bien le professeur n'a pas parlé d'équation différentielle linéaire, il pouvait s'agire de nimporte quelle équadiff.A l'époque on ne savait même pas ce que c'était qu'une équation différentielle linéaire

Pour ce qui est des espaces vectoriels je ne connais pas encore (ça viendra d'ici quelques semaines) mais pour reprendre ton exemple :


y = 0 est solution

Mais c'est bizarre pourtant car la solution générale (comme elle est à variable séparée ça n'est pas dur à déterminer) est : 2

et donc aucune valeur de C ne nous fournit la solution particulière y = 0

Que faut il en conclure ? Que ce n'est pas la SG ?

PS : J'adore dire que les profs racontent n'importe quoi

C'est mal parce que le professeur dont je parle est le plus grand mathématicien (sérieusement) que j'ai rencontré de toute ma vie

[invite6b1e2c2e]

D'ailleurs, je voulais bien sûr dire

( y avait un problème au niveau des constantes).

Effectivement l'ensemble des solutions que tu détermines est tout à fait juste. Sauf que quand tu intègres, tu intègres
, et là tu as un problème si ta fonction est nulle. Donc c'est normal que tu n'obtiennes pas la solution 0. Remarque bien que si tu pars de y(0) = a non nul, alors la solution est donnée par ce que tu as écris au moins sur un petit intervalle, d'après le théorème de Cauchy Lipschitz (la fonction racine est localement de classe C^1 ). Après, il est facile de voir qu'il n'y a pas unicité de la solution : Quand tu touches zéro, tu peux suivre au choix ta solution parabolique ou la fonction nulle. Vérifies le pour t'en convaincre.
En fait, partant de y(0) = 0, il y a une infinité de solution de cette équation (pour t >0), indexée par le plus petit temps a où elle est non nulle, et la solution est de la forme :


__
rvz, ou comment faire des choses complexes avec des choses simples ?

[Bleyblue]

Effectivement l'ensemble des solutions que tu détermines est tout à fait juste. Sauf que quand tu intègres, tu intègres
, et là tu as un problème si ta fonction est nulle. Donc c'est normal que tu n'obtiennes pas la solution 0.

Ah ben oui je n'avais pas fait attention ...

merci