Probabilités : déroutant !

[g_h]

Salut,

Je suis tombé là dessus dans un "Pour la Science" récent, j'ai trouvé ça très déroutant... !
A vous de juger :

1) Dans une famille, il y a 3 enfants, dont au moins un est une fille. Quelle est la probabilité pour que les 3 enfants soient des filles ?

2) Dans une famille, il y a 3 enfants, dont au moins un est une fille qui s'appelle Sophie. Quelle est la probabilité pour que les 3 enfants soient des filles ?

Quels résultats trouvez-vous ?
(si vous connaissez cette énigme, vous pouvez vous abstenir ! )

PS : franchement, je ne suis pas sur d'avoir bien compris le "pourquoi du comment" !
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[GuYem]

Je veux bien concevoir que lréponse à la première ne soit pas 1/4 pour des raisons obscures de proba conditionnelle..

Mais si la réponse à la deuxième question n'est pas la même que la réponse à la première je revend mon chat. (je prends pas trop de risque j'ai pas de chat)

[g_h]

Je veux bien concevoir que lréponse à la première ne soit pas 1/4 pour des raisons obscures de proba conditionnelle..

Mais si la réponse à la deuxième question n'est pas la même que la réponse à la première je revend mon chat. (je prends pas trop de risque j'ai pas de chat)

Pour la premiere, considère bien des cas équiprobables (quitte à introduire une notion d'ordre des enfants) !

Et pour la 2ème... tu devras revendre ton chat je le crains !

[GuYem]

Pour la première j'ai une façon tordue qui trouve 1/7, mais pas sur du tout.

Qui veut un chat?

[A voir en vidéo sur Futura]

[azt]

C'est vrai que c'est complétement déroutant !

[matthias]

Je ne sais pas si cette version a déjà été traitée ici, mais ce qui est sûr c'est qu'on a déjà abordé des problèmes du même genre. Ca donne souvent des résultats totalement contre-intuitifs.

[g_h]

Pour la première j'ai une façon tordue qui trouve 1/7, mais pas sur du tout.

C'est bien ça !

[GuYem]

Héhé content alors! Le raisonnement est le suivant : oublie un instant la condition selon laquelle il y a au moins une fille et trace un arbre binaire à trois niveau decrivant toutes les possibilités. Maintenant la condition qu'il y a au moins une fille élimine la branche GGG. Comme on travaille en équiprobable, toutes les autres branches recoivnet alors la même proba 1/7, y compris la branche FFF.

Par contre pour la deuxième je vois pas du tout pourquoi le raisonnement serait différent ...

( Miaouuu, il est mignon non ? )

[Coincoin]

Salut,
Pour tout achat d'un chat, un deuxième offert !!!

[GuYem]

Salut,
Pour tout achat d'un chat, un deuxième offert !!!

Bon g_h tu expliques un peu pour la deuxième ? (mais pas trop tout de même!). On donne notre langue au chat.

[matthias]

Guyem tu peux pas donner ta langue au chat tu l'as vendu. Mais comme je peux te vendre le mien ....

[matthias]

On est censé considérer que pour la 2, les cas équiprobables sont:
Sophie GG
Sophie FG
Sophie GF
Sophie FF
donc 1/4 ?
C'est quand-même bizarre.

[azt]

On est censé considérer que pour la 2, les cas équiprobables sont:
Sophie GG
Sophie FG
Sophie GF
Sophie FF
donc 1/4 ?
C'est quand-même bizarre.

C'est ça.
Et pour passer d'un cas à l'autre, il faut introduire le paramètre 'quelle est la probabilité qu'une fille s'appelle sophie ?'.

[matthias]

Deux fils dans lesquels ce genre de problèmes a déjà été discuté:
http://forums.futura-sciences.com/th...abilit%E9.html
http://forums.futura-sciences.com/th...abilit%E9.html
Mais c'est vrai que cette version est déroutante.

[GuYem]

Mouaiis. Suis pas trop d'accord quand même. On l'interpréte un peu comme on veut le fait qu'ils appelé une de leur fille Sophie...

[Coincoin]

Je suis d'accord avec le désaccord de GuYem (rendez-moi mon chat). Le fait qu'elle s'appelle Sophie nous place dans le cas où c'est une fille, et donc on tombe dans les probas conditionnelles et dans le premier cas (car le fait que ça soit une fille nous donne une information).
Par contre, je suis d'accord que les deux problèmes suivants sont différents :
1) Dans une famille, il y a 3 enfants, dont un s'appelle Sophie. Quelle est la probabilité pour que les 3 enfants soient des filles ?
2) Dans une famille, il y a 3 enfants, dont un s'appelle Camille. Quelle est la probabilité pour que les 3 enfants soient des filles ?

[invite0e4ceef6]

non, la réponse est la même, puisque le fait de rajouter un nom n'est qu'une condition seconde du système enfant... et cette condition est incluse dans la constante(ils ont une fille, et quelque soit cette fille parmit les trois sont nom est sophie)

le résolution du problème ne peut-etre que le même... puisqu'on ne cherche pas le nom, mais bien une proba sur le genre... dans tout les cas possible "sophie" ressort..

salut les matheux, je viens dire bonjours, et je m'en vais de suite hihihi

[matthias]

Si on regarde le problème comme ça:
F F Sophie
F Sophie F
Sophie F F
F Sophie G
Sophie F G
F G Sophie
Sophie G F
Sophie G G
G F Sophie
G Sophie F
G Sophie G
G G Sophie
on obtient bien 3/12 = 1/4
Mais en fait ces cas ne sont à mon avis pas équiprobables, ça reviendrait à dire qu'un enfant a une chance sur 3 d'être une fille, une chance sur 3 d'être un garçon et une chance sur 3 d'être une Sophie, et qu'on regarderait la probabilité qu'exactement un enfant soit une Sophie.
Donc je ne vois pas non plus pourquoi la réponse serait différente de la 1.

chats en soldes ....

[bardamu]

Salut,
n'est-ce pas normal que les résultats soient différents puisque d'un côté on traite des proba sur 2 types d'êtres (fille ou garçon) alors que de l'autre on parle de 3 types : fille-sophie ou fille-non-sophie ou garçon ?

[invité576543]

Comme souvent le problème est mal posé, faute d'une claire identification de l'espace probabilisé.

L'information réellement donnée par le nom est ambigüe, comme on va le voir. Dans le tableau de Matthias, il donne les même proba pour FFS et FSG ( ). Or on peut aussi défendre que FFS, FSF et SFF ont chacun la proba 1/8 x 1/3, et FSG et SFG chacun la proba 1/8 x 1/2. Auquel cas on retrouve 1/7 et non 1/4.

Il faut aller au bout des choses, et donner un modèle aux stats du prénom. Prenons le suivant: une fille a une probabilité p de s'appeler Sophie, mais une seule Sophie par famille. On a alors comme proba

FGG et s'appelle Sophie :3/8 p = 1/8 p(3)
FFG et une s'appelle Sophie : 3/8 (p + p(1-p)) = 1/8 p(6-3p)
FFF et une s'appelle Sophie : 1/8 (p + p(1-p)+p(1-p)²) = 1/8 p(3-3p+p²)

La proba de "3 filles" sachant que "au moins une fille et une s'appelle Sophie" est alors le rapport entre 1/8 p(3-3p+p²) et la somme des 3 probas ci-dessus, 1/8 p(12-6p+p²), soit

(3-3p+p²)/(12-6p+p²)

Pour p=0 (le prénom Sophie n'est jamais donné), on trouve 1/4. Pour p=1 (prénom toujours donné), on trouve 1/7. La réalité est quelque part entre les deux!

Ce qui démontre que la différence d'interprétation vient de l'information donnée par le prénom, et que celle-ci dépend de la prévalence dudit prénom!

Cordialement,

[invité576543]

Une autre version du problème me semble plus difficile à analyser, et pourtant c'est très proche:

a) Vous venez dans la maison de la famille, on vous dit qu'il y a trois enfants dont au moins une fille, quelle est la probabilité qu'il y ait 3 fille;

b) Vous venez dans la maison de la famille, on vous dit qu'il y a trois enfants et vous voyez un de ces enfants et c'est une fille, quelle est la probabilité qu'il y ait 3 filles?

Cordialement,

[invité576543]

Pour continuer, et aider à comprendre le cas de Sophie, rajoutons quelques cas

a) Vous entrez dans une maison, on vous dit qu'il y a trois enfants dont au moins une fille, quelle est la probabilité qu'il y ait 3 filles;

b) Vous entrez dans une maison, on vous dit qu'il y a trois enfants et vous voyez un de ces enfants et c'est une fille, quelle est la probabilité qu'il y ait 3 filles?

c) Vous allez entrer dans une maison et on vous dit à l'avance qu'il y a trois enfants et que s'il y a une fille on vous la montrera. Vous entrez, et et vous voyez une fille, quelle est la probabilité qu'il y ait trois filles?

d) Vous entrez dans une maison, on vous dit qu'il y a trois enfants et que l'ainée est une fille, quelle est la probabilité qu'il y ait 3 filles?

e) Vous rencontrez dans la rue une jeune fille, elle vous dit que sa famille a trois enfants, quelle est la probabilité que cette famille ait 3 filles?

Sf erreur, les réponses sont respectivement 1/7, 1/4, 1/7, 1/4 et 1/4.

Partons de e). La probabilité qu'une fille prise au hasard dans la population des filles appartienne à une famille de 3 filles est 3 x 1/8, de deux filles 2 x 3/8 et d'une seule fille 1 x 3/8, d'où une proba de 3/12 = 1/4

d) ne ne doit pas être confondu avec "probabilité de 3 filles sachant au moins une fille", car c'est "probabilité de 3 filles sachant que l'aînée est une fille". Ce n'est pas pareil, le nombre de cas est plus réduit, et la proba est bien 1/4.

Maintenant le cas b). Déjà, ce n'est pas "probabilité de 3 filles sachant au moins une fille", mais "probabilité de 3 filles sachant que l'enfant pris au hasard dans la fratrie est une fille". Si on prend comme modèle probabilisé: la maison est choisie au hasard (comme cas a), puis l'enfant est choisie au hasard dans la fratrie, les probabilités sont 1 x 1/8 (FFF), 2/3 x 3/8 (FFG) et 1/3 x 3/8 (FGG), d'où la proba 1/(1+2+1) = 1/4.

Enfin, le cas c) est clairement le même que a). La différence avec b) devrait être claire maintenant: le choix de l'enfant n'est pas fait au hasard.

Cela ouvre une autre interprétation du cas de Sophie. On choisit une famille au hasard, puis dans cette famille on choisit un enfant au hasard et on vous indique le prénom, prénom qui montre que c'est une fille, alors la proba que la famille ait 3 filles est celle du cas b) et est de 1/4, réduit par l'information donnée par le prénom. Si toutes les filles dans le monde considéré ont des prénoms distincts, l'information est nulle, on reste à 1/4. Si l'aînée des filles s'appelle toujours Sophie mais pas les autres (et que vous le savez), alors on a 1/3 1/8 (SFF), 1/3 3/8 (SFG) et 1/3 3/8 (SGG), et la proba conditionnelle est 1/7. On retrouve les valeurs de l'autre message...

Cordialement,

[GillesH38a]

FGG et s'appelle Sophie :3/8 p = 1/8 p(3)
FFG et une s'appelle Sophie : 3/8 (p + p(1-p)) = 1/8 p(6-3p)
FFF et une s'appelle Sophie : 1/8 (p + p(1-p)+p(1-p)²) = 1/8 p(3-3p+p²)

La proba de "3 filles" sachant que "au moins une fille et une s'appelle Sophie" est alors le rapport entre 1/8 p(3-3p+p²) et la somme des 3 probas ci-dessus, 1/8 p(12-6p+p²), soit

(3-3p+p²)/(12-6p+p²)

Pour p=0 (le prénom Sophie n'est jamais donné), on trouve 1/4. Pour p=1 (prénom toujours donné), on trouve 1/7. La réalité est quelque part entre les deux!

Salut Michel

c'est le calcul précis mathématique, mais le physicien dira que p est de toutes façons petit (moins d'une fille sur 10 s'appelle Sophie !) et que p est proche de 1/4 !

Partons de e). La probabilité qu'une fille prise au hasard dans la population des filles appartienne à une famille de 3 filles est 3 x 1/8, de deux filles 2 x 3/8 et d'une seule fille 1 x 3/8, d'où une proba de 3/12 = 1/4

Ce n'est pas tout a fait des probabilités puisque la somme est supérieure à 1, il faut rediviser par la somme, mais sinon le résultat est le même!
On peut dire aussi
Si il y a N familles de 3 enfants, il y en N/8 de 3 filles, qui fournissent 3N/8 filles, 3N/8 familles de 2 filles fournissant 2x3N/8 =6N/8 filles, 3N/8 de 1 fille fournissant 3N/8 filles, et N/8 de zero filles, donc un total de 3N/2 filles (normal puisque 3N enfants).

La probabilité qu'une fille prise au hasard appartienne a une famille de 3 filles est donc (3N/8)/(3N/2) = 1/4

(1/2 pour 2 filles et 1/4 pour 1 fille).

Cordialement
Gilles

[GuYem]

Ouah je suis perdu ! Mine de rien c'est super compliqué les probabilités élémentaires...



(Miaouuuuuuuuu, reviens par là toi, j'aurais jamais du te vendre!)

[invite0e4ceef6]

résolu, avec certitude

faire un tableau 1 - 2 - 3 marquant les enfants
et remplir a F et G... la dernière ligne etant pleine de F elle equivalut a la certitude annoncé, et compte donc pour un chance

donc 6 cases + un ligne certaine = 7 soit 1/7ème..

dans ce tableau il suffit de rejouter le fait qu'un des enfants s'apelle sophie, ceci ne s'applique de pour la dernière ligne, ou il y a une equiprobalité entre les filles, mais cette ligne etant certaine cela ne change rien a la probabilité..

de plus les probabilité de genre dans ce tableau ce comptabilise de gauche a droite, alors que les attributs de nom enfants eux se comptabilise de haut en bas pour chaque enfant..

c'est comme si dans la dernière vous remplacier la lettre F par la cetitude qu'il existe une sophie parmit les trois... sans toutefois a avoir a determiné laquelle des trois porte se prénom, etant de fait equiprobable, la S remplace la lettre F..
ce qui est normal, puisque sophie et fille ne sont qu'une facette du même individu n'entrant en ligne de compte dans le genre du nom...

je fais le chat à 15€ en ce moment, il n'y en auras pas pour tout le monde... et c'est bientôt noêl

[invite0e4ceef6]

soit

FGG=3
FFG=3
FFF=1

et

FGG=3
FFG=3
SSS=1

[invite2f68e9c6]

Je ne comprend pas . Si je ne m'abuse, Sophie <=> fille donc les cas 1 et 2 se traitent de la MEME FACON !!!!

[bardamu]

Comme souvent le problème est mal posé, faute d'une claire identification de l'espace probabilisé.

Salut,
à ce propos, quelles sont les méthodes pour définir les espaces en questions ?
On a eu les arbres et si on utilise les ensembles, on a d'un côté :
{filles} {garçons}
et de l'autre
{filles {les sophie}} {garçon}

Il me semble que cette présentation fait apparaître assez simplement le rôle que peut jouer le dénombrement des "Sophie" par rapport à l'ensemble "Filles", et donc la probabilité p que tu as introduit.

Il y a des modes de représentation plus adaptés ? Un schéma de résolution recommandé ?

Ceci dit, il me semble cohérent de considérer le cas 1 comme étant le plus pertinent puisque la question ne demande pas d'information sur les Sophie.

[invité576543]

Salut,
à ce propos, quelles sont les méthodes pour définir les espaces en questions ?
On a eu les arbres et si on utilise les ensembles, on a d'un côté :
{filles} {garçons}
et de l'autre
{filles {les sophie}} {garçon}

Bonsoir,

Ce qu'il faut définir c'est un ensemble d'expériences. En langage naturel "prendre un enfant au hasard dans telle population". C'est la population la notion la plus importante.

Un schéma de résolution recommandé ?

Il y a deux cas à distinguer, l'un simple l'autre abominablement compliqué. Dans le cas discret fini, c'est simple. Une fois bien défini l'ensemble des tirages possibles et la loi de probabilité, c'est du dénombrement. Même les probas conditionnelles se traitent avec un dénombrement...

La complexité vient avec l'infini et surtout avec le continu (théorie de la mesure). Les paradoxes les plus difficiles avec des probas sont dans ce cas-là. Le paradoxe de la corde d'un cercle (voir par exemple http://www.ulb.ac.be/soco/matsch/rec.../paradoxes.htm) montre un cas simple continu où l'ambiguïté vient de la non définition de la loi de probabilité...

Ceci dit, il me semble cohérent de considérer le cas 1 comme étant le plus pertinent puisque la question ne demande pas d'information sur les Sophie.

Sauf que si l'on fait cela, on obtient le "paradoxe" présenté au début. La notion de probabilité est liée à l'information. Si on donne une information, il est difficile de dire qu'on ne la prend pas en compte, car alors il n'y a aucune différence entre les deux cas du message #1, non?

Si on considère que l'information n'est pas "Sophie", il y a deux interprétations. Cela peut être le fait qu'un des enfants pris au hasard (parmi les trois) est une fille: cela rajoute une information au fait qu'il y ait au moins une fille, car il est plus probable de tirer une fille dans FFF que dans FGG. Si on interprète l'énoncé ainsi, la proba est 1/4. Si on contraire on interprète en disant "s'il y a une fille, on en choisira une et on vous dira quelque chose sur elle (le prénom, l'âge, ...)", et qu'on considère l'information ajoutée par le "quelque chose" comme nulle, alors la proba est 1/7, car il n'y a aucun changement dans les cas à considérer.

La distinction entre les cas b) et le cas c) de mon poste doit être méditée; je ne vois que ces deux méthodes pour résoudre le paradoxe: une différence ne me semble pouvoir venir que de l'information donnée par le prénom par lui-même, ou de l'ambiguité de l'énoncé sur le choix de l'enfant, ou des deux combinés.

Cordialement,

[invite0e4ceef6]

Salut,

Je suis tombé là dessus dans un "Pour la Science" récent, j'ai trouvé ça très déroutant... !
A vous de juger :

1) Dans une famille, il y a 3 enfants, dont au moins un est une fille. Quelle est la probabilité pour que les 3 enfants soient des filles ?

2) Dans une famille, il y a 3 enfants, dont au moins un est une fille qui s'appelle Sophie. Quelle est la probabilité pour que les 3 enfants soient des filles ?

Quels résultats trouvez-vous ?
(si vous connaissez cette énigme, vous pouvez vous abstenir ! )

PS : franchement, je ne suis pas sur d'avoir bien compris le "pourquoi du comment" !

finalement je révise mon point de vue...
dans le cas 1) la question porte sur un groupe de trois enfants, donc quel est la chance pour que les trois enfants sot des filles, soit:
GGG donne zero possibilité
FGG donne 1 possibilité puisque le groupe contient la fille
FFG donne 1 possibilité pour les même raison
FFF est la possibilité voulue trois filles...

l'ont a donc que trois solution possible pour trois enfants, soit 1/3

le cas 2 est identique puisque dans les trois groupes etudiés renvoyant une possibilité valide l'ont trouve aussi la probalité qu'une fille au moins est le nom de sophie...
donc 1/3

j'ai bon??