série simple et une suite de fonction

[invite45ca6d89]

Bonsoir, tout le monde,

J'ai différents exercices sous la main, mais j'ai des doutes sur certains points.

Pour le premier exercice :

et une suite (Un) définie par :



1) montrer que la suite (Un) est convergente J'ai montrer que Un est décroissante, et j'ai montrer par récurrence que 1<Un<1Donc Un convergente... Correcte ?

2) convergente et déterminer sa somme
Un² = Un - Un+1 Donc serie téléscopique donc convergente

3) divergente :
Série téléscopique et comme Un tend vers 0, ln(Un) est divergente, donc la série aussi

4) C'est là que j'ai un doute : :
J'ai dis que c'était une série réelle positive, j'ai utilisé d'Alembert.. mais je tombe sur une limite égal à 1...

Deuxième exo, juste la première question
On a

Montrer que les fonctions fn sont continues... Je comprends pas, faut-il que je montre que fn(x) tende vers n ?

Une dernière

converge SSI |q| < 1

Dans le sens A => B :
si la série numérique converge , alors

donc série de terme général q^n converge donc |q| < 1[/TEX]

Pour montrer B => A je trouve pas, mais je pense que j'ai mal pris l'exo...


Merci d'avance à tout ce qui vont pouvoir m'aider
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[invite45ca6d89]

1<Un<1

Je voulais dire 0<Un<1 bien évidement...
Donc la suite converge vers 0.

[invite57a1e779]

et une suite (Un) définie par :



4) C'est là que j'ai un doute :

Etudie et déduis en un résultat intéressant sur via le théorème de Cesàro.

Montrer que les fonctions fn sont continues... Je comprends pas, faut-il que je montre que fn(x) tende vers n ?

Oui, il faut que tu prouves .

Une dernière

converge SSI |q| < 1

Pour montrer B => A je trouve pas, mais je pense que j'ai mal pris l'exo...

La règle de d'Alembert ?

[invite45ca6d89]

Etudie et déduis en un résultat intéressant sur via le théorème de Cesàro.

J'ai trouvé qui tend vers 1.
D'après le théorème de Cesàro j'obtient converge...

La règle de d'Alembert ?

Dans ce cas là il faut que j'ai une série réelle positive... J'étudie donc la série dont le terme général est |Un| n'est-ce pas ?

Encore merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

D'après le théorème de Cesàro j'obtient converge...

Il y a une somme télescopique...

Dans ce cas là il faut que j'ai une série réelle positive... J'étudie donc la série dont le terme général est |Un| n'est-ce pas ?

Oui, il faut passer par l'absolue convergence.

[invite45ca6d89]

Merci

Cependant je ne comprends pas... ou plutôt je ne vois pas où est l'idée...

Voilà ce que je sais :
- Un converge
- Une série de terme général Vn est dite télèscopique si V(n) = f(n+1)-f(n)
-Si An converge d'après le théorème de Cesàro on a convergente

Donc si j'applique bêtement cela à notre exercice on a :
convergente

Donc convergente...

or car série téléscopique..

Mais je ne vois toujours pas le lien avec la série de termes générale Un... Vraiment désolé...

[invite57a1e779]

Tu dois pouvoir en déduire la limite de .

[invite45ca6d89]

Déduire la limite de n.An où oui...

mais de n.Un je ne vois pas la déduction...

[invite45ca6d89]

Je dois passer pour un c** aux yeux de ceux qui lisent ce topics, mais je vois pas la déduction (qui doit être par définition intuitive)...

[invite57a1e779]

Il faudrait arriver à écrire proprement le résultat obtenu par le théorème de Cesàro.

[invite45ca6d89]

Bah il dit que si j'ai une suite qui converge vers l, alors la suite des moyennes de Cesàro converge elle aussi vers l.

Dans notre cas l est 1

[invite57a1e779]

Dans notre cas l est 1

Oui, mais tu es toujours incapable d'écrire quelle est la suite qui tend vers 1...

[invite45ca6d89]

Bah si, la suite des moyennes de Cesàro... que j'ai écrit plusieurs fois plus haut...

[invite45ca6d89]

En gros tend vers 1

[invite57a1e779]

Il faudrait expliciter cette moyenne de Cesàro en fonction de U_n.

[invite57a1e779]

En gros tend vers 1

En très gros, parce que ce n'est pas tout à fait cela.

[invite45ca6d89]

plus ça ?

soit


PS : Si c'est pas ça c'est que j'ai pas compris le théorème de Cesàro enfin que je ne sais pas l'utiliser

[invite57a1e779]

La moyenne de Cesàro est , et il suffit de remplacer correctement les petits points, puis d'évaluer la somme télescopique.

[invite45ca6d89]

Me dites pas que c'est faux ça...

[invite57a1e779]

Le facteur signifie que tu fais la moyenne sur termes, mais introduit une somme de termes : il y a quelque chose qui ne va pas.

La moyenne est seulement , et tu peux en déduire la limite de .