etude d une serie entiere a partir d une suite defiie par recurrence

[invited40e5362]

Bonjour a tous, j'ai un sujet et je ne m'en sort pas. Quelqu'un pourait il me mettre sur une piste pour m'aider:
On définit la suite (Un):
U0=U1=1 et pr tt n entier naturel, U(n+2)=U(n+1)+2Un+(-1)^n

On considère la série entière sigma(Un*z^n)
Montrer que le rayon de convergence R est superieur ou égal à 1/2
Calculer la somme S et en déduire une expression de Un

Je suis conscient que cette éxercice est un exercice de base mais je ne sais pas comment le commencer. Je ne peut pas travailler directement avec une expression de Un obtenue grace à une équation du second ordre. Je pensai utiliser la régle de d'Alembert en regardant U(n+2)/U(n+1) puis utiliser un thm de comparaison. Mais cela ne mène à rien. Comment devrais-je commencer?
-----

[invite39cbe40b]

pour le rayon de convergence on ecrit Vn verifie V0=V1=1 et V(n+2)=V(n+1)+2Vn+1 d'eq caracterestique X^2-X-2=(X+1)(X-2)
par recurrence Vn>=Un
de plus tu trouve facilement Vn=1/2 + a(-1)^n +b*2^n
et rcv de VnZn est 1/2
d'ou RCV Un>=1/2

[invite39cbe40b]

pour trouver la somme tu trouve une equ diff que verifie somme(UnZ^n) a l'aide de la relation de recurence verifie par Un tu la resoud et tu en deduit la somme
c'est plutot facile la et je suis sur que tu pourra t'en sortir

[invited40e5362]

Merci j'ai enfin trouver pour le rayon de convergence. Pour trouver l'éq diff j'ai dérivé la fonction somme puis j'ai remplacer U(n+1) par la relation de récurrence mais je ne trouve pas (j'ai aussi essayé en dérivant 2 fois, là j'arrive)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited40e5362]

En fait en dérivant 2 fois je bloque

[invite57a1e779]

Merci j'ai enfin trouver pour le rayon de convergence. Pour trouver l'éq diff j'ai dérivé la fonction somme puis j'ai remplacer U(n+1) par la relation de récurrence mais je ne trouve pas (j'ai aussi essayé en dérivant 2 fois, là j'arrive)

Rien d'étonnant, il n'y a pas d'équation différentielle.

Pour ce genre d'exos, on multiplie la relation de récurrence par une puissance de d'exposant suffisant pour ne pas avoir de problème par la suite, l'expérience permettant de déterminer cet exposant de plus en plus efficacement...

Ici, je multiplie par , l'xposant correspondant aplus grand des indices qui apparaît dans la relation de récurrence, et j'obtiens donc, pour tout entier :

(1)

Comme est de rayon de convergence , et est de rayon de convergence , pour tout dans , on peut sommer les relations (1) pour obtenir

(1)

et il reste à calculer les sommes des différentes séries obtenues en fonction de ce qui, dans ce cas particulier, ne nécessite pas d'utiliser .
Ici tu obtiens une bête équation en , ce qui permet d'obtenir facilement sa valeur.
Dans d'autre cas, il faudra effectivement utiliser , voire pour exprimer les sommes des séries obtenues, et l'on est amené à résoudre une équation différentielle pour calculer .

[invited40e5362]

En effet, je pouvais toujours chercher. J'ai enfin trouvé merci a tous