équation différentielle

[invite65e83342]

Bonjour, je suis bloquer dans un exercice, pouvez-vous m'aider?:
On considère l’équation différentielle :
(E) : (x^2 + 1)y' + (x - 1)^2y = x^3 - x^2+ x + 1 :
1. Trouver une fonction affine solution de (E). En déduire toutes les solutions de l’équation (E) sur R.
2. Rappeler rapidement pourquoi par un point (x0; y0) appartient à R², il passe une et une seule courbe intégrale. En déduire
que les courbes intégrales ne s’intersectent pas.
Pour tout réel h, on note (Ch) la courbe intégrale de (E) passant par le point de coordonnées (0; h).
4. Soit (H), la courbe représentative de la fonction L telle que L(x) = x +(x² + 1/((x - 1)²)) .
Montrer en étudiant l’équation (E) que (H) est le lieu des points à tangente horizontale sur les courbes (Ch),h appartient à R.
5. Étudier la fonction L (domaine de définition, dérivabilité, variations, limites, asymptotes).
6. Discuter suivant la valeur de h le nombre de points à tangente horizontale sur une courbe (Ch) donnée.

J'ai réussi à faire la 1. et la 5. mais je bloque aux autres.
Merci de m'aider
-----

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, pour la 2) ce n'est pas à cause du théorème des problème de Cauchy :
un problème de cauchy n'a qu'une seule solution?

sinon supposons que il existe f1 et f2 solution de E telle que elles se coupent en (x0,y0)

c'est à dire f1(x0)=y0 et f2(x0)=y0

donc l'équation au point x0 devient :

(x0^2 + 1)f1'(x0) + (x0 - 1)^2y0 = x0^3 - x0^2+ x0 + 1
et
(x0^2 + 1)f2'(x0) + (x0 - 1)^2y0 = x0^3 - x0^2+ x0 + 1

en faisant la différence : (x0^2 + 1)f1'(x0)-(x0^2 + 1)f2'(x0)=0 donc
comme x0^2+1 est non nul je présume
f1'(x0)=f2'(x0) donc W(f1,f2)=0 (avec W le wronskien) car il s'annule en x0 donc il est toujours nul.

donc f1 et f2 ne forment pas un système fondamental de solution donc sont liée et ici f1=f2

En espérant que çà soit juste.

çà parait évident vis à vis de ce qui précède.


Après la suite ne me donne pas réellement envie

Bonne chance. En espérant avoir été utile et ne pas avoir fait d'erreur. RoBeRTo

[invite65e83342]

Merci, j'avais pas pensé à raisonner comme ceci mais c'est vrai que c'est peut-être une bonne solution!
Je vais essayé de faire la suite mais je suis bien sûr toujours ouvert à d'autres réponses .