Dérivation d'intégrales

[Shadowlugia]

Bonjour à tous,

j'ai, comme qui dirait, un gros problème pour dériver les intégrales : pour moi, la dérivée d'une intégrale de type était toujours égale à , mais là j'ai un problème avec l'exercice qui suit.

on considère l'équation (1) suivante :
où f est une fonction continue de dans et g une fonction deux fois dérivable de dans

on demande de montrer que les fonctions f solutions de (1) sont elles aussi deux fois dérivables et qu'elles vérifient l'équation (2) suivante :

j'ai réussi à montrer qu'effectivement elles étaient deux fois dérivables, en revanche, j'ai un problème avec la question d'après :

pour moi, si f est solution de (1) alors on a

et donc
soit ; ce qui est incompatible avec ce qu'on nous demande de trouver.

Quelqu'un que j'ai consulté m'a donné le raisonnement suivant, que je ne comprends pas bien :
soient F et H deux primitives de f (elle est continue donc admet des primites de classe C1)
on a

soit

d'où en dérivant

soit

d'où en dérivant encore une fois

cependant, ce que je ne comprends pas :
- je croyais que était la primitive de f qui s'annule en 0, alors pourquoi ce F(0) ?

- pourquoi est-ce que ?

- pourquoi ?

pouvez-vous m'aider, en m'expliquant où j'ai tort et si possible en m'expliquant le raisonnement ci-dessus ?
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[invitefa064e43]

pour moi, la dérivée d'une intégrale de type était toujours égale à , mais là j'ai un problème avec l'exercice qui suit.

oui je suis d'accord, pourvu que f soit continue tout de même.

j'ai un problème avec la question d'après :

pour moi, si f est solution de (1) alors on a

oui d'accord.

et donc

euhhh
???

Quelqu'un que j'ai consulté m'a donné le raisonnement suivant, que je ne comprends pas bien :
soient F et H deux primitives de f (elle est continue donc admet des primites de classe C1)
on a

soit

d'où en dérivant

soit

d'où en dérivant encore une fois

cependant, ce que je ne comprends pas :
- je croyais que était la primitive de f qui s'annule en 0, alors pourquoi ce F(0) ?

oui en quelque sorte. Mais pour toute primitive F de f, c'est aussi égal à F(x)-F(0). Si tu prends le cas particulier de la primitive qui s'annule en 0, alors ça donnera

- pourquoi est-ce que ?

- pourquoi ?

D'où vient ce H(x) ?

[Shadowlugia]

oui, effectivement, je n'avais pas fait attention pour l'intégrale que je pensais égale à f(x)

H, c'est une primitive de f qu'on considère au tout début du raisonnement

[invitefa064e43]

oui, effectivement, je n'avais pas fait attention pour l'intégrale que je pensais égale à f(x)

H, c'est une primitive de f qu'on considère au tout début du raisonnement

non, H n'est pas une primitive de f. C'est F qui est une primitive de f. regarde bien : on a deux intégrales de différentes choses

[A voir en vidéo sur Futura]

[Shadowlugia]

ben justement, c'est ça que je ne comprends pas dans le raisonnement qu'on m'a donné : au début, on considère deux primitives F et H de f, mais elles permettent de calculer deux choses différentes...il y peut-être une erreur...

[invitefa064e43]

ben justement, c'est ça que je ne comprends pas dans le raisonnement qu'on m'a donné : au début, on considère deux primitives F et H de f, mais elles permettent de calculer deux choses différentes...il y peut-être une erreur...

ah oui pardon, j'avais mal lu.

mais regarde, essaye de retrouver le raisonnement. on peut réécrire l'énoncé comme tu l'as fait :



maintenant on a deux intégrales. Il n'y a pas la même chose dessous, ce ne sont pas les mêmes fonctions qui sont intégrées.

Qu'est qui serait pratique d'avoir comme primitive pour écrire autrement ces intégrales ?

[Shadowlugia]

dans ce cas, on prendrait une primitive de f, mais comme il y a t*f(t) dans la deuxième intégrale , je pensais essayer par parties.

[invite57a1e779]

au début, on considère deux primitives F et H de f, mais elles permettent de calculer deux choses différentes...

Cela n'a aucun sens de considérer deux primitives et d'en changer suivant le calcul à faire.

On a effectivement besoin d'une primitive de F pour calculer l'intégrale, mais cette seule primitive suffit. J'en conclus que H est une primitive d'une fonction h autre que f, et H sert à calculer une autre intégrale.

[breukin]

Ben oui, bien sûr.
Du texte a été mangé. ll fallait lire :

Soient F et H deux primitives, respectivement de f(x) et de h(x)=xf(x)

Ici, c'est le raisonnement tenu et les calculs effectués qui permettent de retrouver l'énoncé logique.

[Shadowlugia]

d'accord, merci beaucoup !