Théorie de la mesure et fractals

[invite97a526b6]

Bonjour,

Je me pose la question suivante:

Est-ce que les sous-ensembles fractals de IRⁿ font partie de la tribu de Lebesgue. En d'aures termes, sont-ils Lebesgue- mesurable par la mesure de Lebesgue ?
Si oui leur mesure est-elle 0 ?

Exemple sur l'espace mesuré IR avec la tribu Lebesgue et la mesure de Lebesgue:
- L'ensemble triadique de Cantor (qui est un sous-ensemble de IR) de dimension ln2/ln3 fait-il partie de la tribu de Lebesgue. Si oui est-il lebesgue-négligeable ?

Y-a-t-il des liens approndissant ce sujet ?

Merci pour réponse.
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[invited73f5536]

Bonjour.

Quelle est ta définition de "objet fractal" ? Sans ça, difficile de donner une réponse précise ...

Néanmoins, l'ensemble de Cantor est un compact, donc il est bien mieux que Lebesgue-mesurable : il est borélien !
Et il est de mesure nulle, ça découle directement de sa construction. Je suis surpris que tu te poses ce genre de questions sans avoir réalisé cela, alors que tu as calculé sa dimension de Hausdorff ... (l'ensemble de Cantor ayant une dimension de Hausdorff strictement inférieure à 1, sa mesure de Lebesgue est forcément nulle !)

De manière générale, il y a beaucoup de fractales qui sont des parties compactes (comme par exemple les ensembles de Julia), mais ce n'est pas une règle générale, surtout sans avoir une définition précise de fractale. (et cette définition n'est pas du tout une évidence !)

Pour les références, ça dépend beaucoup de ce que tu recherches. Je te conseille quand même les livres de Falconer "Fractal geometry : mathematical foundations and applications" et "The geometry of fractal sets".

Une recherche sur Google doit donner de très bons résultats aussi.

[invite97a526b6]

Merci pour ta réponse.
Peut-on dire, comme tu le laisses entendre, que toute partie de IRn dont la dimension de Hausdorf est inférieure à n est borélien et de Lebesgue-mesure nulle ?
Je pense aussi à une courbe fractale de IR² (je ne sais plus son nom) qui passe par tous les points de IR². Est-elle borélienne et de Lebesgue-mesure nulle ?

[invited73f5536]

Un ensemble de dont la dimension de Hausdorff est strictement inférieure à n est nécessairement Lebesgue négligeable. (mais pas forcément borélien)
C'est une conséquence directe de la définition. (et du fait non trivial que la mesure de Lebesgue et la mesure de Hausdorff n-dimensionnelle sont proportionnelles sur )

Attention à ne pas confondre une courbe paramétrée (une application) avec son image (une partie de l'espace) ! La courbe qui passe par tous les points de s'appelle la courbe de Peano.
Quand on parle de borélien, d'ensembles de mesure nulle, etc, on parle de propriétés d'une partie de l'espace.
L'image de la courbe de Peano n'est rien d'autre que : difficile de trouver "plus borélien que ça" ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a526b6]

Un ensemble de dont la dimension de Hausdorff est strictement inférieure à n est nécessairement Lebesgue négligeable. (mais pas forcément borélien)
C'est une conséquence directe de la définition. (et du fait non trivial que la mesure de Lebesgue et la mesure de Hausdorff n-dimensionnelle sont proportionnelles sur )

Attention à ne pas confondre une courbe paramétrée (une application) avec son image (une partie de l'espace) ! La courbe qui passe par tous les points de s'appelle la courbe de Peano.
Quand on parle de borélien, d'ensembles de mesure nulle, etc, on parle de propriétés d'une partie de l'espace.
L'image de la courbe de Peano n'est rien d'autre que : difficile de trouver "plus borélien que ça" ...

Merci pour cette réponse.
Cest cohérent:
- L'ensemble de points constituant la courbe de Peano étant le plan tout entier, sa mesure de Lesbesgue est infinie. Or sa dimension est bien 2.