Existe-t-il un isomorphisme entre (IR,+) et (IR*,.) ?

[Seirios]

Bonjour à tous,

Tout est dans le titre, j'aimerais savoir s'il existe un isomorphisme de groupes entre et .

Merci d'avance,
Phys2
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[Amanuensis]

C'est toi qui poses cette question ???

Je donne quand même la réponse, tant pis pour toi : l'exponentielle.

[Seirios]

Il me semble que l'exponentielle est un isomorphisme de groupe de dans , et non dans , non ?

[Amanuensis]

Aïe ! C'est moi qui me suis piégé, là. Mal lu la question... Je réfléchis...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Non, parce qu'il n'y a pas d'élément non neutre dans (R,+) qui soit son propre inverse (d'ordre 2), alors qu'il y en a un dans (R*,.), -1

[Médiat]

Petite remarque supplémentaire : vous venez de démontrer que, non seulement un isomorphisme ne peut exister, mais que ces deux structures ne sont pas élémentairement équivalentes ce qui est encore plus fort (j'enfonce une porte ouverte puisque justement vous avez exhibé une formule "vraie" dans l'une est "fausse" dans l'autre). Pour une démonstration irréprochable (je parle de mon intervention), il faudrait montrer que cette formule est bien du premier ordre, mais c'est une évidence.

[Seirios]

Non, parce qu'il n'y a pas d'élément non neutre dans (R,+) qui soit son propre inverse (d'ordre 2), alors qu'il y en a un dans (R*,.), -1

C'est bien ce que je pensais, mais je n'arrivais pas à le montrer ; merci

vous venez de démontrer que, non seulement un isomorphisme ne peut exister, mais que ces deux structures ne sont pas élémentairement équivalentes ce qui est encore plus fort

Il n'y a pas équivalence entre les notions d'isomorphisme et d'équivalence élémentaire ?

[Médiat]

Il n'y a pas équivalence entre les notions d'isomorphisme et d'équivalence élémentaire ?

Non, Par contre isomorphisme => élémentairement équivalent, c'est d'ailleurs la contraposée de cette implication que Amanuensis a utilisé.

Par exemple, la théorie des ordres totaux denses sans extremums est une théorie complète, donc tous ses modèles sont élémentairement équivalents, il suffit de prendre 2 modèles n'ayant pas le même cardinal pour qu'ils ne soient pas isomorphes (et dans ce cas précis on peut même facilement trouver des modèles de même cardinal (non dénombrable) qui ne sont pas isomorphes.