Divergence et coordonnées spherique

[membreComplexe12]

Bonjour tous,

comme mon titre l'indique j'ai un petit probleme d'analyse vectorielle, j'aimerai redemontrer que le laplacien d'un scalaire en coord spherique est:



1°) Ce que j'arrive à faire: le gradient
==> à partir de la definition du gradient il est facile de trouver son expression en coordonnées spheriques:

or en spherique

d'où:


2°) A present je veux le laplacien de f: il faut donc faire la divergence de grad(f) mais je ne sais pas faire en coordonnées spheriques

J'aurai tout simplement fait la somme des trois composantes ci dessus en les derivant chacune mais apparemment ce n'est pas cela....
car ca donne:




comment dois je faire la divergence en coordonnées spherique svp?
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[silk78]

Bonjour,

On m'a justement introduit aujourd'hui la formule de Laplace-Beltrami qui dit que le Laplacien dans un système de coordonnées dont le Jacobien est J est donné par :


Je ne connais pas du tout l'origine de cette formule, et suis d'ailleurs preneur si quelqu'un à une explication (j'ai cherché sur Internet, mais je n'ai pas trouvé), mais, en tout cas, les calculs ne sont pas trop difficiles.


Dans tous les cas, la divergence en sphérique n'est pas la somme des dérivées partielles de chaque composante, mais :


Silk

[membreComplexe12]

Dans tous les cas, la divergence en sphérique n'est pas la somme des dérivées partielles de chaque composante, mais :

merci d'avoir pris le temps de repondre

[mariposa]

Bonjour tous,

comme mon titre l'indique j'ai un petit probleme d'analyse vectorielle, j'aimerai redemontrer que le laplacien d'un scalaire en coord spherique est:



1°) Ce que j'arrive à faire: le gradient
==> à partir de la definition du gradient il est facile de trouver son expression en coordonnées spheriques:

or en spherique

d'où:


2°) A present je veux le laplacien de f: il faut donc faire la divergence de grad(f) mais je ne sais pas faire en coordonnées spheriques

J'aurai tout simplement fait la somme des trois composantes ci dessus en les derivant chacune mais apparemment ce n'est pas cela....
car ca donne:




comment dois je faire la divergence en coordonnées spherique svp?

Bonjour,

L'expression de la divergence que tu as utilisée n'est vrai qu'en coordonnées cartésiennes et donc ton laplacien n'est pas correcte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[membreComplexe12]

oui merci, pouvais vous me donner l'expression intrasecque du divergence svp? c'est à dire independant des coordonnées (comment trouve t on cette expression?)