Bonsoir,
Je m'intéresse pour le plaisir aux sous groupes propres H de (R,+) qui vérifient la propriété " pour tout x dans R, il existe un entier n tel que n*x soit dans H". On peut en avoir un exemple en prenant une base de R comme Q espace vectoriel et en prenant le sous groupe de (R,+) engendré par cette base. En suivant une autre voie, j'ai montré qu'un tel groupe devait exister, sinon avec le lemme de Zorn on aurait un morphisme non trivial de (R,+) dans un groupe fini, ce qui est impossible.
Bref, dans les deux méthodes, on a le lemme de Zorn qui apparait quelque part, et je me demandais si il était possible de construire un tel groupe, ou de montrer son existence sans passer par l'axiome du choix ou ses conséquences. Et je n'y arrive pas.
Quelqu'un aurait des idées ? Ou pour trouver une construction, ou pour montrer qu'il faut nécessairement passer par l'axiome du choix pour avoir un tel groupe ?
Merci d'avance.
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