Système d'équation d'une droite (espace)

[invite78f958b1]

Bonsoir,
j'étais en train de faire un exercice qui concerne la géométrie dans l'espace et je voulais savoir votre avis sur ma démarche.

Voici l'énoncé: Déterminer un système d'équations de la droite T' projection orthogonale sur le plan P1 de la droite T dont cette dernière vérifie
le système : 4x-6y+2z-12=0
-2x+4y-2z+8=0

*Après étude du sytème, on trouve un vecteur directeur de T' et un point E appartenant à T.
Considérons la projection de E sur le plan P1 qui est E'.
Donc EE' est un vecteur normal au plan P1.

*Soit EE' (a,b,c)
C'est un vecteur normal donc orthogonal à deux droites sécantes du plan.
On étudie alors le système:

EE'.u=0 (u et v étant 2 vecteurs non colinéaires de P1 connus)
EE'.v=0

On en déduit les coordonnées de EE'.

*Comme EE'(xe'-xe;ye'-ye;ze-ze')
Les coordonnées de E et de EE' étant connu, on en déduit celles de E' (qui est un point appartenant à T')


*On a un vecteur directeur c et un point E' relatifs à la droite T'--------------->On trouve l'équation paramétrique.

Qu'en pensez vous ?
Merci d'avance
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[invite78f958b1]

J'ai essayé de représenter graphiquement pour que vous puissiez mieux visualiser.
Merci

[invitea3eb043e]

Tu ne dis pas sous quelle forme tu connais le plan P1.
Si tu as 2 vecteurs, tu as la normale n au plan P1 (c'est leur produit vectoriel).
Si tu as le vecteur n, tu connais aussi le vecteur normal à T'. En effet, le produit vectoriel de n et du vecteur directeur de T' se projette sur P1 normal à T'.
C'est un théorème qu'on apprenait autrefois : pour qu'un angle droit se projette sur un plan selon un angle droit, il faut et il suffit qu'un des côtés soit parallèle au plan.
Ensuite, il suffit de calculer l'intersection de T avec le plan P1.
Je ne suis pas sûr de suivre totalement ton raisonnement.