problème de suite ...

[invitef657fe61]

bonjour à tous,

On considère la suite(un) définie par :
u₀ = 1
u_n+1 = u_n +2n+3

1/ Etudiez la monotonie de la suite (un).

Voici mon idée.
Si u_n+2 > u_n+1 alors la suite est croissante et inversement.
u_n+2 = u_n+1 + 2n + 5
u_n+2 = u_n + 4n + 8
or, si on compare u_n+2à u_n+1 on constate que 4n+8 est supérieur à 2n+3.
Donc la suite (un) est croissante.

2/ (il est là mon problème)

Démontrez que pour tout entier naturel n, u_n > n² .
Je me suis dis : remplaçons n par n+1
u_n+1 > n² + 2n + 1
u_n + 2n +3 > n² + 2n +1
on peut retirer les 2n de chaque côté
u_n + 3 > n² +1

Mais là je suis bloqué et j’ai rien montré… auriez vous donc une suggestion pour m’aider svp ?
De plus je suis même pas sur pour la première question ( j'ai des difficultés avec les suites :/ )

Merci beaucoup pour vos futures réponses.
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[inviteca91c546]

Pour la 1, demo par récurence;

Soit P(n) la prop. "U(n+1) > U(n)"

P(0) est vrai, car P(1)=1+2+3=6 > P(0)

Ensuite, suppossons P(n) vrai
On a alors U(n+1) > U(n)
U(n+1)+2n+3 > U(n)+2n+3
U(n+2) > U(n+1)
ect...

Pour la 2:

Tjs pas récurence...

Cette fois, la prop. c'est Un > n²

P1 est vrai (6>1²)

Supp Pn Vrai

U(n)>n²
U(n)+2n+3 > n²+2n+3 (au ajoute 2n+3 dans chaque membre)
U(n+1)>(n+1)²+2 (developpe a coté pour vérifier...) donc c'est aussi supérieur a (n+1)² car (n+1)²+2>(n+1)²

CQFD...

[invitedf667161]

Ton raisonnement pour la première question ets correct. Seulement il tourne un peu en rond.
Tu as fait un peu trop de boulot :
u_(n+2) = u_(n+1) + 2n + 5 <--- une fois que tu as ça c'est fini. Il suffit de passer le u_(n+1) à gauche pour avoir
u_(n+2) - u_(n+1) = 2n + 5 et 2n+5 est clairement >0
Donc
u_(n+2) - u_(n+1) > 0
donc
u_(n+2) > u_(n+1)
ce que tu voulais montrer.
Moralité : quand on veut montrer que machin > bidule, on essaye de trouver le signe de la différence machin - bidule.

Pour la deuxième je dirais qu'il faut faire une récurrence.
Tu es mal parti car tu as commencé à utiliser ce qu'il faut montrer!
Essaye d'amorcer la récurrence, de la faire passer au rang suivant et reviens si tu n'y arrives pas.

EDIT : grillé. Bon la récurrence pour la première question c'est pas obligé du tout quand même! ma méthode est plus jolie et moins lourde, na!

[invitef657fe61]

merci énormément , j'ai enfin compris.

et bonne soirée..

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteca91c546]

EDIT : grillé. Bon la récurrence pour la première question c'est pas obligé du tout quand même! ma méthode est plus jolie et moins lourde, na!

C'est vrai que la récurence n'est pas obligatoire, mais ce qui est cool alors les suites (et oui, les maths sont cool ^^ ) c'est que la récurence marche a (presque) tous les coups...

Mais pour cette suite, la soustraction est bcp plus rapide...

[invitedf667161]

Les maths c'est cool, tu l'as dit. :geek:

C'est vrai que si on maitrise bien la récurrence (ce qui n'est pas facile du tout au début) et qu'on bloque sur un problème de suite on peut la tenter. Ca a de trés fortes chances de faire conclure.