Complétude

[mimo13]

Salut,

Je voudrai démontrer que tout espace vectoriel de dim finie est complet.

Soit un tel espace, de Cauchy.

Comme toute suite de Cauchy est bornée et qu'on est en dim finie, BW assure l'existence d'une suite extraite .

Après j'écris:

.

L'ensemble tend vers . (Par Cauchy + Convergence).

Mais là, je n'arrive pas à prouver que .

La plupart des démo disent que c'est parce que tout espace vectoriel de dimension finie est fermé.

Le problème, c'est qu'il disent un peu plus bas, que tout espace vectoriel de dimension finie est fermé car il est complet.

Si vous avez des pistes, je suis preneur.

Merci

Cordialement
Mimo
-----

[pelkin]

que caractérise un espace vectoriel de dimension finie ?

[mimo13]

que caractérise un espace vectoriel de dimension finie ?

Merci de votre réponse, j'ai bien quelques caractérisations en tête, mais je ne vois pas où vous voulez en venir.

[Seirios]

Comme toute suite de Cauchy est bornée et qu'on est en dim finie, BW assure l'existence d'une suite extraite .

Le fait que x soit dans F vient de définition même de convergence, non ? Si une suite est convergente dans F, alors la limite appartient à F...D'ailleurs, lorsque tu écris , tu admets que cette écriture a un sens, et donc que x est bien dans F.

La plupart des démo disent que c'est parce que tout espace vectoriel de dimension finie est fermé.

C'est moi ou bien cette affirmation est triviale ? Dans tout espace topologique (et en particulier dans tout espace vectoriel normé), l'espace lui-même est à la fois fermé et ouvert.

Je suis passé à côté de la question ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mimo13]

C'est moi ou bien cette affirmation est triviale ? Dans tout espace topologique (et en particulier dans tout espace vectoriel normé), l'espace lui-même est à la fois fermé et ouvert.

C'est bien ça qui me trouble.

Je peux toujours voir comme sous espace vectoriel d'une espace vectoriel de dimension infinie.

Dans ce cas , et il faudra montrer que est un fermé de .

[Seirios]

Soit un tel espace, de Cauchy.

Comme toute suite de Cauchy est bornée et qu'on est en dim finie, BW assure l'existence d'une suite extraite .

Après j'écris:

.

L'ensemble tend vers . (Par Cauchy + Convergence).

Mais là, je n'arrive pas à prouver que .

La plupart des démo disent que c'est parce que tout espace vectoriel de dimension finie est fermé.

Le problème, c'est qu'il disent un peu plus bas, que tout espace vectoriel de dimension finie est fermé car il est complet.

Si vous avez des pistes, je suis preneur.

Une autre méthode (qui est en fait sensiblement la même) : Soit une suite de Cauchy ; alors est bornée, donc il existe M>0 tel que pour tout , ; or est compact, puisque F est de dimension finie, et donc complet. Ainsi, converge dans , et donc dans F.

[mimo13]

Une autre méthode (qui est en fait sensiblement la même) : Soit une suite de Cauchy ; alors est bornée, donc il existe M>0 tel que pour tout , ; or est compact, puisque F est de dimension finie, et donc complet. Ainsi, converge dans , et donc dans F.

Comme ça c'est mieux, merci.

Toutefois, ce qu'on a dit tout à l'heure m'amène à penser qu'on peut facilement démontrer que tout espace vectoriel de dim quelconque est fermé.

Quitte à considérer la norme induite si il est inclue dans un autre EVN, on peut le voir comme un evn lui même qui est alors fermé.

[Seirios]

Je peux toujours voir comme sous espace vectoriel d'une espace vectoriel de dimension infinie.

Dans ce cas , et il faudra montrer que est un fermé de .

Dans ce cas, on peut écrire ; la question est donc de savoir si une suite peut converger dans G.

En notant et les injections canoniques, je dirais que converge vers x ssi et convergent respectivement vers et . En considérant une suite dans F, on a , et si , tu dois donc avoir et .

[Seirios]

Toutefois, ce qu'on a dit tout à l'heure m'amène à penser qu'on peut facilement démontrer que tout espace vectoriel de dim quelconque est fermé.

Quitte à considérer la norme induite si il est inclue dans un autre EVN, on peut le voir comme un evn lui même qui est alors fermé.

C'est pour ça que je ne voyais pas l'intérêt de dire qu'un evn de dimension finie était fermé ; si l'on considère un evn E de dimension quelconque, plongé dans un evn F, les fermés de F pour la topologie induite sont les , où A parcourt l'ensemble des fermés de E. Or E est lui-même un fermé dans lui-même, donc est un fermé dans F pour la topologie induite.

[mimo13]

C'est pour ça que je ne voyais pas l'intérêt de dire qu'un evn de dimension finie était fermé ; si l'on considère un evn E de dimension quelconque, plongé dans un evn F, les fermés de F pour la topologie induite sont les , où A parcourt l'ensemble des fermés de E. Or E est lui-même un fermé dans lui-même, donc est un fermé dans F pour la topologie induite.

Parfaitement.

[mimo13]

Salut,

Je reviens sur ce fil pour solliciter votre aide, car il y a toujours quelque chose que je n'ai pas saisi sur la fermeture des espaces vectoriels.

Dans un exercice, on demande si l'ensemble des suites réelles nulles à partir d'un certain rang noté est fermé.

Je me suis dit que cet ensemble est une sous espace vectoriel de l'ensemble des suites réelles bornées usuellement noté , et donc qu'il était fermé. (D'après ce qu'on a précédemment dit dans cette discussion)

Mais, apparemment ce n'est pas le cas, puisqu'il suffit de considérer:

Pour si et sinon.

et

Mais qui n'est donc pas fermé.

Je suis conscient que la notion de fermé est relative à l'espace vectoriel considéré. J'en conclut qu'un espace vectoriel est toujours fermé relativement à lui même, mais pas forcément relativement à un autre espace vectoriel le contenant.

Mais en pratique, je n'arrive pas à saisir la différence.
Pour faire simple, prenons un exemple:

Soit un espace vectoriel et un sous espace vectoriel de .

Soit convergeant vers .

Je peux toujours dire que est fermé et donc que .
Mais que n'est pas forcément fermé dans et donc peut ne pas appartenir à .

Ça me perturbe tout ça....

Si vous avez des explications, je vous en serez reconnaissant.

Cordialement
Mimo

[invite58633955]

Bonjour,
Y a eu beaucoup de choses approximatives dites dans ce fil, voire caremement fausse. Il me semble que le probleme vient de ceci.

Vous parlez d'un espace fermé, comme d'un prorpiété absolue, or cela depend de la topologie sur l'espace et de manière essentielle.

Je m'explique, vous dites un espace vectoriel est toujours fermé. Mais pour quoi? dans quoi? Pour quelle topologie?

Restreignons nous au cas des espaces normés.

Effectivement un espace normé E, est toujours fermé (dans lui meme, si vous voulez marquer le coup), c'est une trivialité.
Par contre prenez H un sev de E, alors est il fermé dans E? Ben pas necessairement. Pourtant si l'on regarde H muni de la norme induite comme espace normé, alors il sera bien sur fermé.

Mais le point clé c'est que si vous avez X un espace topologique et A une partie de X, si vous munissez A de la topologie induite, alors l'espace A sera toujours fermé, meme si A n'est pas un fermé de X.

Ici c'est exactement ce qu'il se passe. Dire qu'une partie d'un espace vectoriel est fermée, ce n'est pas du tout dire qu'il est fermé pour la norme induite. Sinon, toute partie d'un espace topologique serait fermée.

Bref, donc si on se donne un espace normé E, et un sev de E, disons F, alors F n'a aucune raison d'etre fermé, il le sera par exemple si F est de dimension finie, car alors la F est complet pour la norme induite, et donc fermé dans E. (remarquez bien la difference, un espace est complet s'il est complet pour la norme induite, donc F est un espace complet, c'est donc un fermé de E).

Sinon c'est faux en general (prendre le noyau d'une fome linéaire non continue, c'est un espace dense, ou alors le contre exemple proposé).

[invite58633955]

Soit un espace vectoriel et un sous espace vectoriel de .

Soit convergeant vers .

Je peux toujours dire que est fermé et donc que .
Mais que n'est pas forcément fermé dans et donc peut ne pas appartenir à .

Je reponds a ca (je conserve tes notations), si tu as (u_n) une suite de F convergente (sous entendu dans E, puisque c'est lui notre espace de base) alors soit u la limite, tu peux tres bien avoir u qui n'appartient pas a F, quand F n'est pas fermé dans E. Si F est fermé dans E alors tu aura toujours u qui est dans F.

Par exemple, E=l'espace des fonctions infiniement derivables sur [0,1], et F, l'espace des polynomes a coeff reels que l'on identifie au sous espace de E des fonctions polynomiales.
On muni E de la norme de la convergence uniforme.
Alors la suite de polynme est une suite de F, qui converge vers exponentielle, qui n'est pas dans F, donc F n'est pas fermé dans E.

Ensuite si tu regarde F muni de la norme induite, ben cette meme suite, ne converge tout simplement pas.

[God's Breath]

les fermés de F pour la topologie induite sont les , où A parcourt l'ensemble des fermés de E. Or E est lui-même un fermé dans lui-même, donc est un fermé dans F pour la topologie induite.

Oui, mais la question est de savoir pourquoi F est fermé dans E, si j'ai bien compris.

[God's Breath]

Bref, donc si on se donne un espace normé E, et un sev de E, disons F, alors F n'a aucune raison d'etre fermé, il le sera par exemple si F est de dimension finie, car alors la F est complet pour la norme induite, et donc fermé dans E.

Pour les espaces de dimension finie, la fermeture vient surtout de ce que l'on peut faire les calculs dans une base, et de ce que les formes coordonnées sont continues.
Si le corps de base n'est pas complet, un sous-espace de dimension finie n'est pas complet, mais est fermé, sauf erreur.

[mimo13]

Salut,

Je vous remercie pour vos réponses.

Tout est parfaitement clair.
Si on demande si un espace vectoriel est fermé, il faut voir dans quoi, et pour quelle topologie.

Si le corps de base n'est pas complet, un sous-espace de dimension finie n'est pas complet, mais est fermé, sauf erreur.

Pour l'instant ou (On a assez de problèmes comme ça )

Pour les espaces de dimension finie, la fermeture vient surtout de ce que l'on peut faire les calculs dans une base, et de ce que les formes coordonnées sont continues.

Comme je n'aime pas survoler de telles propriétés , je vais tenter une démo:

Soit un espace vectoriel normé de dimension quelconque.
Soit un sous espace vectoriel de de dimension finie et une base de .

Il s'agit de montrer que est complet, il suffit de montrer que est fermé. (cf mon premier post)

Je pose , et telle que et a priori.





On a pour tout

D'où le résultat.

[mimo13]

Soit un espace vectoriel normé de dimension quelconque.
Soit un sous espace vectoriel de de dimension finie et une base de .

Il s'agit de montrer que est complet, il suffit de montrer que est fermé. (cf mon premier post)

Je pose , et telle que et a priori.





On a pour tout

D'où le résultat.

Je retire ce que j'ai dit.

Ça suppose que admet une base dénombrable.

[invite5bcb5821]

Bonjour,
Sur la fermeture d'un sous ev d'un evn. L'implication suivante est vraie: soit F un sev de E qui est evn. F ouvert ====> F=E (facile à demontrer). Contraposé: F différent de E ====> F fermé !

[mimo13]

Bonjour,
Sur la fermeture d'un sous ev d'un evn. L'implication suivante est vraie: soit F un sev de E qui est evn. F ouvert ====> F=E (facile à demontrer). Contraposé: F différent de E ====> F fermé !

Malheureusement, la négation de " ouvert" n'a rien à voir avec " fermé".

[invite58633955]

Pour les espaces de dimension finie, la fermeture vient surtout de ce que l'on peut faire les calculs dans une base, et de ce que les formes coordonnées sont continues.
Si le corps de base n'est pas complet, un sous-espace de dimension finie n'est pas complet, mais est fermé, sauf erreur.

Bonjour, effectivement je me suis placé dans le cas ou le corps de base est complet, si le corps de base n'est pas complet, alors les espaces de dimension finie n'ont aucune raison d'etre fermé.
Prends la catégorie des Q-ev, alors Q est un espace de dimension 1, qui est dense dans R (pourtant de dim infinie sur Q).
Donc le point clé est vraiment la completude (ou la locale compacité si tu veux).
Sur des corps non complets, bah les espaces de dimension finie n'ont aucune raison d'etre fermé dans des espaces plus gros.

[mimo13]

Une autre méthode (qui est en fait sensiblement la même) : Soit une suite de Cauchy ; alors est bornée, donc il existe M>0 tel que pour tout , ; or est compact, puisque F est de dimension finie, et donc complet. Ainsi, converge dans , et donc dans F.

Pour en revenir à cette démo, je ne vois pas pourquoi est compact.

Dire que "puisqu'on est en dimension finie, il suffit de voir que c'est un fermé borné", n'a pas de sens car il faudrait d'abord que soit incluse dans et je ne vois pas pourquoi.

(En fait, ça découle de la fermeture de et c'est bien ce qu'on veut montrer )

Cela dit, je ne sais toujours pas comment démontrer qu'un espace vectoriel de dimension finie est complet.

[invite58633955]

Pour en revenir à cette démo, je ne vois pas pourquoi est compact.

Dire que "puisqu'on est en dimension finie, il suffit de voir que c'est un fermé borné", n'a pas de sens car il faudrait d'abord que soit incluse dans et je ne vois pas pourquoi.

(En fait, ça découle de la fermeture de et c'est bien ce qu'on veut montrer )

Cela dit, je ne sais toujours pas comment démontrer qu'un espace vectoriel de dimension finie est complet.

Bah c'eest toujours pareil, il faut bien partir de qqch, ici on suppose que tu sais que les parties compactes d'un espace de dimension finie sont les parties fermées bornées.

Bon on va démontrer directement qu'un espace de dimension fini est complet. C'est tres simple en fait, c'est essentiellement l'equivalence des normes (en fait c'est ce resultat+Bolzano Weierstrass qui prouve tout).
Donc ici, je suppose simplement qu'on est sur R, on sait que celui ci est complet, et on se donne V un espace normé sur R de dimension finie.
Alors je dis que si on se donne une base de V, on a un isomorphisme topologique (un isomorphisme et un homéomorphisme) entre R^n et V, donné par .
Ou la norme sur R^n est la norme sup.
CA revient a démontrer que toutes les normes sont quivalentes a la norme sup vis a vis d'une base.
Ca se prouve facilement par recurrence.
Le resultat en dimension 1 est connu.
Suppose le resultat vrai pour les espaces de dimension n. Soit v_i, i=1,...,n+1, une base de V munie de ||
Alors soit V=V_i+Rv_i, avec V_i de dim n qui vaut la somme des Rv_k ou on met pas le ième, alors V_i est complet, il est donc fermé dans V, donc V_i+x est aussi fermé (c'est clairement homéo a V_i).
Comme 0 n'est pas dans la reunion des V_i+v_i de i=1 a n+1, il y a une voisinage de 0 qui est disjoint de cette reunion.
Donc il existe A tel que |w+v_i|>A, pour tout w de V_i.
Si tu pose x=x_1v_1+...+x_{n+1}v_{n+1}.
Alors x/a (ou a est le sup des des |x_i|, la norme sup quoi), bah ca va s'ecrire comme v_r+qqch dans V_r, c'est donc >A.
Donc |x|>Aa, soit .
L'inégalité dans l'autre sens, est juste l'inég triangulaire.

[invite5bcb5821]

Voici une démonstration du fait que tout sous espace de dimension fini est fermé (démo prise dans un cours de topologie). Ceci c'est la question est toujours d'actualité.
Proposition Tous sous-espace vectoriel de dimension finie F d'un espace vectoriel normé (E) est un ferme de (E).
Preuve : L'espace vectoriel norme (F) est de dimension finie. Ses fermes
bornes sont donc compacts. Si (xn) est une suite de F qui converge dans E,
lim xn = l1 qui appartient à E, elle est bornee dans (E) et donc dans (F). On
peut donc extraire une sous-suite (xnk) qui converge dans F, limXnk =
l2 element de F. Et comme E est separe, on l1 = limn xn = lim xnk = l2 elemnt de F
et ce pour tout suite de F ayant une limite dans E. F est donc ferme.

[invite652ff6ae]

Tu sais que est complet et que toutes les normes sont équivalentes en dimension finie, or tout ev de dimension finie est isomorphe à donc il est complet.

[wopl_a]

en précisant que tu munis E de la norme N'(x) = N(f(x))infini, ou f est un isomorphisme de E dans R^n si tu munis R^n de la norme infini f est une isométrie, puis tu conclus par équivalence des normes