Inversibilité d'une matrice.

[invitea6816ba4]

Bonsoir.

Soit la matrice définie par Aij=cardinal des diviseurs communs de i et j.

montrer que A est inversible et calculer son inverse.


J'ai montré que A est inversible en calculant son déterminant qui vaut 1.

Comment trouver l'inverse est la grande question.
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[NicoEnac]

Bonjour,

Comment avez-vous prouvé que son déterminant vaut 1 ? Ca m'intéresse !

[invitebe08d051]

Salut,

Voilà ce qui me vient à l'esprit:
.

est clairement symétrique, et vu qu'elle inversible est aussi symétrique.

Donc .

Je ne sais pas si la méthode que tu as suivi pour calculer est similaire à la mienne, mais je pense que tu pourra calculer les coefficients de de façon analogue, vue que ce sont des déterminants.


P.S: Tu le tiens d'où cet exo ??

[invitea6816ba4]

bonjour l'idée est de montrer que la matrice s'écrit comme le produit de deux matrices de déterminant 1 ce qui devient trivial en écrivant le cardinal d'un ensemble comme la somme sur i appartenant à l ensemble (des diviseurs commun de i et j )de 1(tout simplement).

Sinon je ne vois comment tu vas calculer les termes de la comatrice??

[A voir en vidéo sur Futura]