Bonjour, j'aurais voulu avoir confirmation d'un théorème que j'ai trouvé dans un corrigé s'il vous plait...
A-t-on, pour une matrice M donnée :
- 0 valeur propre <=> M inversible
- 0 non vp <=> M non inversible
?? Jamais entendu parler de ça...
Merci beaucoup!
Bonjour
La matrice M représente une application linéaire....
Si tu cherches les valeurs propres , tu récupères une matrice M' semblable à M écrite avec éléments diagonaux qui sont les VP.
Le dét de M= dét M' ( car detAB=détBA , et utiliser la matrice de passage P ) .Il est donc clair que M inversible équivaut à det M non nul , donc le produit des VP est non nul et donc 0 n'est pas VP
Par la contraposée tu en déduis que M non inv équivaut à il existe une valeur propre qui est 0
C'est exactement le contraire : M non inversible <=> 0 valeur propre.
Démonstration :
M non inversible
<=> Ker M non vide
<=> Il existe un vecteur X non nul tel que MX=0
<=> Il existe un vecteur X non nul tel que MX=0X c'est à dire X est vecteur propre associé à la valeur propre 0.
Ah oui d'accord, ça marche
Merci beaucoup à tous les deux pour votre clarté et votre rapidité
Bonne journée
Et le corrigé était donc faux...
Manque de pots comme dirait le grand jardinier
ou manque de peau comme dirait le grand brûlé
