Série de Fourier de cos^2(x) (raccourci)

[dsb0]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment on peut voir directement que la série de Fourier de est . Je sais que , mais pourquoi c'est aussi égal à sa propre série de Fourier ?

Je sais aussi que comme est une fonction paire, tous les termes sont nuls.

Mais comment faire pour voir que sans avoir à faire les calculs compliqués pour les termes , comme semble le suggérer mon livre ?

Merci d'avance
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[Jeanpaul]

La série de Fourier est unique. Or l'expression que tu donnes pour cos²(x) ressemble exactement à une telle série : un terme constant + un cosinus de 2x.
Donc c'est ça !

[invite9cf21bce]

Mais comment faire pour voir que sans avoir à faire les calculs compliqués pour les termes , comme semble le suggérer mon livre ?

Bonsoir.

Les calculs "compliqués" dont tu parles (calculs d'intégrales par linéarisation) te paraîtront sans doute beaucoup plus naturels quand tu te rendras compte qu'ils se résument à ce qui suit :

• la série de Fourier de est
• la série de Fourier de est
• l'application
  
  fonction f (ayant les bonnes propriétés) série de Fourier de f
  
  est linéaire

Taar

[dsb0]

Merci pour vos réponses. J'ai dû écrire mon message assez vite tout à l'heure, je vais essayer de préciser un peu.

En fait, je disais "compliqué" car en essayant de calculer pour , ça fait , que je n'ai pas réussi à intégrer.

Et mon livre n'explique pas grand-chose, c'est celui qu'on a pour les cours, et la partie théorique est réduite au strict minimum... il n'y a aucune démonstration. Je pourrais aller voir dans d'autres livres mais je n'en ai malheureusement absolument pas le temps avec toutes les autres matières. C'est frustrant =P

Pour en revenir à la question, j'ai pensé qu'on pouvait dire que la série de Fourier de est par "identification" avec la formule (c'est ce que tu as dit Jean-Paul, c'est bien ça ?), mais le livre dit (c'est dans le corrigé d'un exercice où il faut utiliser l'identité de Parseval pour montrer que ) :

"
, ce qui implique que les coefficients de Fourier sont

si et

..."

Je ne comprends pas pourquoi , ça ne devrait pas plutôt être ? (Puisque la période de est et pas )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Identification, c'est ça. Ensuite, sûr que la période de cos²(x) est pi, c'est pour cela que dans le développement, il n'y a qu'un terme en cos(2x) et pas en cos(x), qui serait possible du fait de la parité.