fonctions injectives, démonstrations.

[inviteaa7fccc7]

Bonjour a tous, voila j'ai un petit problème avec une démonstration assez basique vu que je la vois partout, mais je n'arrive pas vraiment a comprendre ...

voila la question :

On considère quatre ensembles A, B, C et D et des applications
f : A → B, g : B → C , h : C → D. Montrer que :

g ◦ f injective => f injective.

Pour moi, je pars de g ◦ f injective :

on a donc g(f(x)) = g(f(x')) => f(x) = f(x') nan ? car l'ensemble de départ de g((f)) est bien l'ensemble d'arrivé de f nan ?

et la je suis bloqué car je peux rien dire sur x et x', pour moi il ne sont pas forcément égaux :s et j'arrive pas à le voir dans ma tête, car pour moi si x est différent de x' et que f n'est pas injective, alors on peut avoir f(x) = f(x') , et donc g(f(x)) = g(f(x')) avec f(x) = f(x') donc g(f(x)) qui est bien injective et f(x) qui ne l'est pas ...

Donc je sais que je me trompe quelquepart, j'aimerai bien comprendre ou ...

merci beaucoup
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonsoir,

Part de ce qui faut montrer pour que f soit injective donc :

f(x)=f(y) et tu compose par g et tu as ta solution.

tu ne peux pas dire g(f(x))=g(f(y)) =>f(x)=f(y) dans ce cas là il faudrait que g soit injective.

[inviteaa7fccc7]

en partant ce de que tu dis ca donne ...

f(x) = f(y) => g(f(x)) = g(f(y)) la ca doit impliquer que x = y mais j'arrive pas a le comprendre ... je suis perdu je sais que c'est simple mais j'arrive pas a cerner le truc

j'essaie de partir sur un exemple pour comprendre ou je bute ...

Soit f(x) = x + 1 f(y) = y + 1
g(x) = x^2 g(y) = y^2

g(f(x)) = (x + 1)^2 g(f(y)) = (y + 1)^2

comme g(f(x)) est injective (enoncé) on a g(f(x)) = g(f(y)) => ahhhhh je croi que j'ai compris ce que tu voulais dire .... si je met g(f(x)) = g(f(y)) => f(x) = f(y) ca veut dire que c'est g qui est injective or nous ce qu'on nous dit c'est que c'est g(f()) qui est injective donc je peux directement conclure que g(f(x)) = g(f(y)) => x = y donc f(x) = f(y) => x = y donc f est injective ....

c'est bien ca ?

merci

[RoBeRTo-BeNDeR]

BElle prise de conscience en fin de message Comme çà tu as trouvé seul et sûrement compris au passage! Et fait attention je ne suis pas sûr que g->x² soit injective... par exemple si f(x)=1 et f(y)=1 cela implique t'il que x=y ? ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaa7fccc7]

Oui effectivement, je me rends compte que c'etait pas bon, car si on peut avoir x = y ou x = -y , du coup ce n'etait pas un bon exemple xD

a force de faire des des exercices je commence a beaucoup mieux comprendre ... et je bute a nouveau sur un autre exercice, j'aimerai juste un petit éclairage pour démarrer si possible ...

Soit f une application de A dans B. Montrer les equivalences entre les assertions :
(a) f est surjective ;
(b) ∀y (petit y) ∈ B, f (f ^−1 ( {y})) = y ;
(c) ∀Y (grand Y)∈ P (B), f (f ^−1 (Y )) = Y ;
(d) ∀Y (grand Y)∈ P (B), [f ^−1 (Y ) = ∅] ⇒ [Y = ∅].
On raisonnera par une chaine d'implications, et l'on utilisera le fait que pour toute partie Y ⊂ B, Y = ∪y ∈Y {y}.

Je pense qu'il faut partir logiquement de la définition de le surjection pour f et essayer d'arriver a (b)

f surjective => ∀y ∃x∈ A / f(x) = y

est-ce que f (f ^−1 ( {y})) =f(x) ? je saurai pas du tout comment le prouver ...

Et j'ai un autre problème, quelle est la différence entre B et P(B) ? (pour la deuxième implication )P(B) c'est quelque chose comme l'ensemble des parties de B si je me souviens bien ?

Merci beaucoup pour ceux qui me répondrons, ça m'aide beaucoup vos réponse pour comprendre mon cours !

[invite1e1a1a86]

f surjective => ∀y ∃x∈ A / f(x) = y

est-ce que f (f ^−1 ( {y})) =f(x) ? je saurai pas du tout comment le prouver ...

pour tout y,
il existe au moins un x tel que (c'est la définition)
on pose A tout les x tel que (A est non vide)
par définition, (cf ton cours)

que dire de l'ensemble (que l'on note aussi )

et oui, P(B) est l'ensemble des parties de B et donc
veut dire que Y est un ensemble d'élement y de B.