Applications injectives et composées

[invite31c09461]

Bonjour,

Je dois démontrer l'énoncé suivant :
"si f:X->Y est injective, il existe alors une application g:Y->X telle que gof = idx"
Je ne demande pas la réponse, bien au contraire, juste un (tout) petit indice de la direction dans laquelle je dois chercher. Mon prof le corrige demain, donc je me dis qu'il vaut mieux que j'essaie de trouver avec de l'aide que de recopier la correction...

Merci d'avance!

Romain
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[Seirios]

Bonjour,

Essaie de faire un dessin avec deux ensembles, et demande-toi que signifie que f soit injective ; trace les flèches reliant un élément d'un ensemble à l'autre, puis demande-toi comment tu pourrais revenir vers l'ensemble de départ.

[invite31c09461]

Si f est simplement injective, f^-1 n'est pas nécessairement définie, si?

[invite31c09461]

Si f est simplement injective, f^-1 n'est pas nécessairement définie, si?

C'est ce que je dois montrer, au temps pour moi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Si f est simplement injective, f^-1 n'est pas nécessairement définie, si?

Non, elle ne l'est pas. En fait, f est injective ssi elle est inversible à gauche (tu dois donc montrer l'implication de cette équivalence) ; de même, f est surjective ssi elle est inversible à droite, et f est bijective ssi elle inversible (à droite et à gauche).

[sebsheep]

Bonjour,

Essaie de faire un dessin avec deux ensembles, et demande-toi que signifie que f soit injective ; trace les flèches reliant un élément d'un ensemble à l'autre, puis demande-toi comment tu pourrais revenir vers l'ensemble de départ.

Et concrètement, comment "construire" la fonction g : si tu prends y dans Y, que va valoir g(y) ? Evidemment, il faudra distinguer plusieurs cas. Fait vraiment un dessin, c'est la meilleure façon de comprendre

[Seirios]

En fait, f est clairement bijective de X dans f(X), donc tu peux introduire dans ce sens ; sinon, tu sais que tous les éléments de Y ont au plus un antécédent, donc tu envoies ceux qui ont un antécédent sur leur antécédent, et les autres sur un élément quelconque (ils importent peu), ce qui revient au même.

[invite31c09461]

Et concrètement, comment "construire" la fonction g : si tu prends y dans Y, que va valoir g(y) ? Evidemment, il faudra distinguer plusieurs cas. Fait vraiment un dessin, c'est la meilleure façon de comprendre

Selon moi, il y a deux cas :
y est l'image d'un x de X, auquel cas g(y)=x
ou y n'est l'image d'aucun x, et dans ce cas g(y)=z d'un troisième ensemble Z
J'essaie de voir où cela peut me mener...

Non, elle ne l'est pas. En fait, f est injective ssi elle est inversible à gauche (tu dois donc montrer l'implication de cette équivalence) ; de même, f est surjective ssi elle est inversible à droite, et f est bijective ssi elle inversible (à droite et à gauche).

Inversible à gauche, c'est-à-dire dont on peut écrire : f^(-1)of=idx ?
Et comment montrer que f est bijective dans ^f(X)?

[invite31c09461]

Ahhh je crois que j'ai trouvé!
Comme f est injective, l'équation d'inconnue x: y=f(x) admet au plus une solution. On a du même coup g(y)=g(f(x)) qui admet au plus une solution. Ici deux cas: g(y)=x ou non; dans le premier cas, g(f(x))=x...
Il faut que j'éclaircisse tout ça mais je m'arrête là pour ce soir. Merci à vous deux!

[Seirios]

Inversible à gauche, c'est-à-dire dont on peut écrire : f^(-1)of=idx ?

La notation est réservée au cas où f est bijective, donc n'utilise cette notation que dans ce cas là. Inversible à gauche, c'est qu'il existe une fonction g telle que .

Et comment montrer que f est bijective dans ^f(X)?

Tu montres qu'elle est injective (ce que tu sais pas hypothèse), puis qu'elle est surjective (ce qui fonctionne bien puisque par définition, tous les éléments de f(X) ont un antécédent).

Selon moi, il y a deux cas :
y est l'image d'un x de X, auquel cas g(y)=x
ou y n'est l'image d'aucun x, et dans ce cas g(y)=z d'un troisième ensemble Z

Tu y es presque ; est-ce que la valeur de g(y) lorsque y n'a pas d'antécédent est importante ?

[invite31c09461]

Tu montres qu'elle est injective (ce que tu sais pas hypothèse), puis qu'elle est surjective (ce qui fonctionne bien puisque par définition, tous les éléments de f(X) ont un antécédent).

On distingue bien ici Y de f(X), n'est-ce pas? Je pense que oui puisque tous les éléments de Y n'ont pas d'antécédent par f.
Dans ce cas là f est bijective de X dans f(X), mais pas dans Y. Je peux alors introduire , étant la fonction qui, à un élément de f(X) associe un son antéccédent par . F(X) étant un sous-ensemble de Y, je peux dire directement que ? J'ai l'impression de sauter une étape...
Je pense que j'y suis presque mais j'aurais bien besoin de votre aide pour mettre tout ça en forme!

[sebsheep]

On distingue bien ici Y de f(X), n'est-ce pas? Je pense que oui puisque tous les éléments de Y n'ont pas d'antécédent par f.
Dans ce cas là f est bijective de X dans f(X), mais pas dans Y. Je peux alors introduire , étant la fonction qui, à un élément de f(X) associe un son antéccédent par . F(X) étant un sous-ensemble de Y, je peux dire directement que ? J'ai l'impression de sauter une étape...
Je pense que j'y suis presque mais j'aurais bien besoin de votre aide pour mettre tout ça en forme!

Tu peux le formuler comme ça, mais il faut dire ce qu'est g (un prolongement de f^-1).

Pour f^-1, vu que f : X->f(X) est une bijection, il suffit de dire que f^-1 est l'application réciproque de f.


Mais c'est quand même un peu alambiqué, tu avais presque "la" solution :

Selon moi, il y a deux cas :
y est l'image d'un x de X, auquel cas g(y)=x
ou y n'est l'image d'aucun x, et dans ce cas g(y)=z d'un troisième ensemble Z
J'essaie de voir où cela peut me mener...

Sauf que ton ensemble Z n'a rien à faire là. Il te suffit de prendre un élément quelconque de X qui sera la valeur de g(y) si y n'est pas dans f(X) ; cette valeur n'a aucune importance de toute façon.

[Seirios]

Dans ce cas là f est bijective de X dans f(X), mais pas dans Y. Je peux alors introduire , étant la fonction qui, à un élément de f(X) associe un son antéccédent par . F(X) étant un sous-ensemble de Y, je peux dire directement que ? J'ai l'impression de sauter une étape...
Je pense que j'y suis presque mais j'aurais bien besoin de votre aide pour mettre tout ça en forme!

Attention aux notations ; correspond à la fonction inverse de f, qui n'existe pas. Il faut introduire , et là tu peux introduire . Tu as alors , mais on te demande de trouver une fonction g qui va de Y dans X, donc tu n'as pas tout à fait terminé.
Il faut que tu introduises une fonction g telle que et définir (de manière un peu arbitraire, tu te rends compte que les valeurs prises par g sur Y-f(X) n'ont aucune importance, tu peux dire qu'elle est constante sur cet ensemble).

[invite31c09461]

Sauf que ton ensemble Z n'a rien à faire là. Il te suffit de prendre un élément quelconque de X qui sera la valeur de g(y) si y n'est pas dans f(X) ; cette valeur n'a aucune importance de toute façon.

Oui j'en ai parlé un peu avec mon prof (qui n'a toujours pas corrigé l'exercice, soit dit en passant), et lui aussi m'a dit ça. Sauf que je ne comprends pas, si y n'est l'image d'aucun x par f, g(y) ne peut pas appartenir à X, si? Si on prend ensuite l'image par f de ce g(y), cette image appartiendra f(X) non? Ou alors serais-je en train de confondre gof=Id et fog=Id? Je crois voir mon erreur, mais ce n'est pas la partie la plus importante comme tu dis.

Phys2: Pour les notations je fais attention effectivement, je me suis fait engueuler pour avoir utilisé abusivement des . J'avoue pas ailleurs ne pas connaître la notation de f avec une tilde, même si je crois savoir à quoi ça correspond. Tu pourrais détailler stp?
Pour résumer on a :

-si y appartient à f(X), il existe x, tel que y=f(x) et g(y)=x
-si y n'appartient pas à f(X), g(y)=x0 (x quelconque)
De ça on tire que g est une application de Y dans X et que ! Serais-je encore en train de sauter une étape?

Merci beaucoup pour votre patience en tout cas!

[sebsheep]

Bonsoir Romain,

Oui j'en ai parlé un peu avec mon prof (qui n'a toujours pas corrigé l'exercice, soit dit en passant), et lui aussi m'a dit ça. Sauf que je ne comprends pas, si y n'est l'image d'aucun x par f, g(y) ne peut pas appartenir à X, si? Si on prend ensuite l'image par f de ce g(y), cette image appartiendra f(X) non? Ou alors serais-je en train de confondre gof=Id et fog=Id? Je crois voir mon erreur, mais ce n'est pas la partie la plus importante comme tu dis.

Oui tout à fait ! Ce qu'on veut c'est gof=Id ; le fait que fog = Id ou pas ne nous intéresse absolument pas

Phys2: Pour les notations je fais attention effectivement, je me suis fait engueuler pour avoir utilisé abusivement des . J'avoue pas ailleurs ne pas connaître la notation de f avec une tilde, même si je crois savoir à quoi ça correspond. Tu pourrais détailler stp?

Ca ne correspond "à rien de standard" ; c'est juste une notation courante pour dire "f" et "f tilde" sont presque pareil. Concrètement, ici :

et


Donc les 2 fonctions sont quasiment les même, c'est juste l'ensemble d'arrivée qui change. Mais rigoureusement, ce ne sont pas les mêmes (et tu remarqueras que pour définir "f tilde", on utilise "f").
(mais dans la pratique, on oublie souvent le tilde, en confondant les 2 fonctions car le contexte est assez claire ; ca reste un abus de langage )

Pour résumer on a :

Cette définition n'a pas de sens : tu es en train de définir f, et tu dis que c'est une fonction qui part de X et qui va dans f(X) (mais c'est quoi "f" ?).

Tu as simplement :

Et tu définis g par :

-si y appartient à f(X), il existe x unique par l'injectivité de f, tel que y=f(x) et g(y)=x
-si y n'appartient pas à f(X), g(y)=x0 (x quelconque)
De ça on tire que g est une application de Y dans X et que ! Serais-je encore en train de sauter une étape?

Merci beaucoup pour votre patience en tout cas!

Non tu ne sautes pas d'étapes, mais tu ne vas pas dans l'ordre : tu dis d'abord ce qu'est g : "une application de Y dans X, définie par :
-Si y est dans f(X) ...
- Si y n'est pas dans f(X) ...
"
Et tu vérifies que gof=Id(X) (ce qui est trivial)

Si tu ne comprends pourquoi j'écris certaines choses d'une certaine manière, dis le ;p

Bonne soirée
Sebastien

[invite31c09461]

Cette définition n'a pas de sens : tu es en train de définir f, et tu dis que c'est une fonction qui part de X et qui va dans f(X) (mais c'est quoi "f" ?)

Oui oui bien sur, de même qu'on définit pas un mot avec un mot de la même famille...

Je crois à vrai dire, que j'ai tout compris. Merci encore à tous les deux, et probablement à bientôt!

Romain

[sebsheep]

Je crois à vrai dire, que j'ai tout compris. Merci encore à tous les deux, et probablement à bientôt !
Romain

Ca fait plaisir, merci.
Sébastien