Salut,
Toujours en travaillant sur les espaces vectoriels normés, j'ai un peu de problèmes à étudier le caractère borné de l'ensemble:
avec
l'espace des applications continues par morceaux de
dans
.
Pour la norme:.
Apres quelques calculs, j'ai fait la construction suivante:
On définit la suite de fonctionpar:
si
et nulle ailleurs.
Il est clair queest continue par morceaux pour tout
.
Aussi:.
On conclut donc que.
En fait, l'idée est simple, c'est juste un rectangle dont la largeur diminue et la longueur augmente de sorte à toujours conserver un aire qui vaut.
Après, il est évident que:.
Si l'ensembleest borné alors:
.
Cad que:.
Et je conclut par absurde.
Je voudrais savoir ce que vous pensez de mon raisonnement. (J'ai des doutes là)
Une autre chose me tracasse, si on impose que les fonctions f soient continues, l'ensemble deviendra-t-il borné pour la même norme ?
J'ai beau cherché mais je n'ai pas de pistes.
Merci à vous.
Cordialement
-----