Fonctions surjectives / injectives

[invite765434561]

Bonjour à tous,
je viens de tomber dans un livre de passage entre la TS et MPSI ce qui me semble être une incohérence. Bien entendu, je me doute que cela doit être cohérent, quelqu'un est-il en mesure de m'éclairer?

"Soit E, F et G des ensembles non vides. On considère les applications suivantes : f de E dans F et g de F dans G.

1) Montrer que g o f injective => f injective
2) Montrer que g o f injective et f surjective sur F => g injective
3) Montrer que g o f surjective sur G => g surjective sur G
4) Montrer que g o f surjective sur G et g injective => f surjective sur F"

J'ai recopié l'énoncé tel quel. Les quatre sont bien sur démontrés de manière correcte dans le livre. Mais je ne comprend pas comment la 1) et la 2) peuvent être cohérentes ensemble, et de même pour la 3) et la 4).
En effet, si la 1) est vraie, si g o f est injective, alors f est injective, mais alors comment peut on supposer dans le deux A LA FOIS que g o f est injective et que f est surjective car f est nécessairement injective (déduction directe de 1) ) ?
C'est le même problème avec 3) et 4) : selon 3), si g o f est surjective sur G, alors g est surjective sur G, alors comment peut on supposer en 4) que g o f soit surjective ET g injective?

Voilà, ça serait sympathique de m'éclairer car ces petites bêtises m'énervent. Je ne pense pas que ce soit du a une mauvaise compréhension des ensembles concernées, car pour f cest toujours F, G pour G et G pour g o f. Bref, merci
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[invite84f051d4]

Parce qu'une fonction surjective peut-être aussi injective !
L'inverse est vrai également.

Une fonction qui est à la fois surjective et injective est appelée fonction bijective.


Les fonctions bijectives ont des propriétés très très intéressantes, notamment celles qui te semblent étranges.

[invite765434561]

Merci beaucoup!
Il n'y a pas de rappel de cours donc je n'ai pas pensé à ça.
C'est peut être définir une fonction comme surjective alors qu'elle est avant tout injective qui m'a dérange (autant mettre bijective directement).

Bref merci, c'est beaucoup plus logique maintenant (en remplaçant surjective et injective par bijective dans 2) et 4) les résultats sautent aux yeux).

[invitec336fcef]

Euh, il y a une ambiguité dans ce que tu as dit :

la 2), (gof) est injective, et f est surjective, cela n'implique pas que f est bijective. Seulement que g est injective.
Idem dans la 4).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite765434561]

Euh, il y a une ambiguité dans ce que tu as dit :

la 2), (gof) est injective, et f est surjective, cela n'implique pas que f est bijective. Seulement que g est injective.
Idem dans la 4).

Il me semble que si :

1) g o f injective => f injective
2) g o f injective et f surjective sur F => g injective

Une des hypothèse de la 2) est que gof est injective. Or la 1) nous indique que si gof est injective alors f l'est également. Ainsi f est nécessairement injective dans la 2.
De plus, la deuxième hypothèse est que f est surjective.
Par conséquent, f est injective et surjective, elle est donc bijective.
Enfin ça me semble être juste mais je peux me tromper, je ne suis pas très callé la deçu !

(raisonnement analogue pour 3 et 4)