composée de deux applications surjectives/injectives

[invite56460777]

Bonjour,


Je cherche à démontrer que la composée de deux fonctions toutes deux injectives ou surjectives est aussi injective/surjective.

f A --> B et g B --> C

Pour l'injection:

1- Soient x et y éléments de A et B et x différent de y

x diff. de y
donc f(x) diff de f(y) car f injective
donc g (f(x)) diff de g (f(y)) car g injective
donc g o f (x) diff g o f (y)
donc injective

2- Un ami propose cette autre version :

pour tout u, v ∈ A , si g ◦ f (u) =
g ◦ f (v) , ce qui signifie g (f (u)) = g (f (v)) , on obtient f (u) = f (v) , puisque g est injective,
et par suite u = v , puisqu’il en est de même de f . Ceci prouve que g ◦ f est injective.

Je trouve sa version juste mais moins convaincante. Qu'en pensez-vous?

Pour la surjection:

Soit z élément de C,
g est surjective
donc il existe y ∈ B tel que g (y) = z
f est surjective
donc il existe x ∈ A tel que f (x) = y
donc g o f (x) = g ( f(x) )= g (y) = z
donc g o f est surjective

Je ne suis pas satisfaite de cette démonstration. Trouvez-vous mieux?
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[invite56460777]

qqch cloche t-il dans le raisonnement?

[invite13d85322]

salut,

Ta version me parait juste, toute composée de fonctions injectives est injective puisque la composée garde les injections.

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1- Soient x et y éléments de A et B et x différent de y

x diff. de y
donc f(x) diff de f(y) car f injective
donc g (f(x)) diff de g (f(y)) car g injective
donc g o f (x) diff g o f (y)
donc injective
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J'ai eu la même démonstration à quelques points près dans mon cours.

Je suis par contre un peu plus sceptique pour la 2e demo, a mon avis il manque certaines étapes.

[invitea48de938]

la version de ton ami m'a l'air tte a fait correcte vous semblez je crosi exploiter seulement deux "versions" de la définition de l'injectivité : 1) f injective ssi (f(x)=f(y) implique x=y) et 2) f injective ssi ( x diff y implique f(x) diff f(y) ).
Définitions qui reviennent clairement au même . Alors vos deux demo me paraissent exactement identiques ; )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51f4efbf]

Les deux démonstrations sont les mêmes, à contraposition près.

[invite56460777]

Oui pour la première démonstration, ca revient à peu près à la même soit on montre non B implique non A soit A implique B. Je trouve dans ce cas présent la version non B implique non A plus claire.

Sinon pour la démonstration de la surjectivité, elle me semble bancale.

[pallas]

les deux sont correctes et pour injectif c'et bien la contraposée donc juste
A +

[invitea48de938]

J'pensais: si on pose E,F et G des ensembles tels que f va de E dans F et g de F dans G , alors g o f surjective ssi g o f (E) = G
Or g o f (E) = g ( F) (car f(E) = F puisque f surjective) ) puis g o f (E) = g (F) = G pour les memes raisons : g o f va de E dans G et g o f ( E) = G : elle est surjective .

Pour ta dem elle me semble tte a fait correcte : ) (désolé d'ailleurs je viens de m'apercevoir que E F et G etaient deja definis comme A B et C , autant pour moi ).