Composée = 0

[Eogan]

Bonsoir,
j'aimerais savoir si
avec u et v des endomorphismes.
Ca a l'air tellement trivial que j'ai peur que ce soit faux!
Merci
-----

[Coincoin]

Salut,
Gagné... c'es faux !
SI vrai si u ou v est bijectif, mais pas en général.

[matthias]

Ca a l'air tellement trivial que j'ai peur que ce soit faux!

Tu as raison d'avoir peur
Prenons un espace de dimension 2 de base (e1;e2).
v(e1) = e1
v(e2) = e1

u(e1) = 0
u(e2) = e1

Ni u ni v ne sont nuls mais on a bien uov = 0 (ce qui en fait est équivalent à Im(v) inclu dans Ker(u)).

[EDIT : devancé par un palmipède ...]

[indian58]

Salut,
Gagné... c'es faux !
SI vrai si u ou v est bijectif, mais pas en général.

en meme tps, si on se donne un endomorphisme au hasard, dison un brave endomorphise de R^n, il y a très peu de chance (0) pr ne pa avoir un endo bijectif!!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coincoin]

Mais il y en a quand même des méchants (cf Matthias), et c'est un raisonnement de physicien de dire "ça marche souvent donc ne nous posons pas de questions"

[invite35452583]

Bonsoir,
j'aimerais savoir si
avec u et v des endomorphismes.
Ca a l'air tellement trivial que j'ai peur que ce soit faux!
Merci

Bonjour,
Faux en général comme précisé ci-avant.
Vrai dans des cas particuliers :
1) si u est injectif alors v=0
2) si v surjectif alors u=0
en conservant le même sens d'écriture.
Il est vrai que cela revient à u ou v bijectif dans le cas de la dimension finie mais... pas infini. De plus, ce résultat reste vrai avec des morphismes quelconques. Cette implication est parfois utilisée pour montrer la trivialité de certains morphismes.

Quant à la question de savoir si la chance d'avoir un endo bijectif, ça dépend quand même du cadre. En (co)homologie, "chance" d'avoir un endo bijectif=0 (presque partout )
Cordialement

[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

Je suppose qu'il voulait dire que l'ensemble des endomorphismes bijectifs est un ouvert dense de M_n(K), ou quelque chose comme ça, et ça, c'est vrai.

__
rvz

[invite35452583]

Bonjour,

Je suppose qu'il voulait dire que l'ensemble des endomorphismes bijectifs est un ouvert dense de M_n(K), ou quelque chose comme ça, et ça, c'est vrai.

__
rvz

Bonjour,
je suppose aussi.
Néanmoins, même en terme de "proba" (guillemets car on ne l'a pas définie) quelle est la probabilité qu'un tel produit soit nul alors que u ou v est bijectif ? Un seul choix pour l'autre : la fonction nulle et dans le produit de M_n(K)² c'est aussi mince qu'une double droite dans un plan.
Autrement dit, quand on tombe sur un produit u.v (composée d'endos ou un produit dans une algèbre quelconque à diviseurs de zéro d'ailleurs) y a-t-il plus de chances de tomber sur "u=0 ou v=0" ou sur un exemple du type de Matthias ? Je pense que lorsqu'on va trop vite et qu'on oublie ce genre de détails, c'est le deuxième cas qui se produit le plus souvent (en tout cas c'est mon expérience, calculs d'exemples forcément un peu tordus car, ici, il y a trop de zéros pour calculer des probas conditionnelles).
Un évènement a beau être le cas général, si quelque chose de rare, et d'extrèmement rare dans le cas général, se produit, les cas particuliers ne peuvent pas être marginalisés sans précaution.

Cordialement

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je suis d'accord avec toi : Pour parler de proba, il faut une mesure de proba.
Cela dit, on peut faire comme en système dynamique, et utiliser le mot "générique", qui signifie que c'est un G-delta (Rappel : Un G-delta est une intersection dénombrable d'ouverts denses, et c'est dense par le lemme de Baire).
Maintenant, je sais que cette notion est différente de celle d'une quelconque de mesure de proba, même si j'ai plus d'exemple simple en tête. Je me souviens d'un article d'Etienne Ghys que j'avais lu, qui disait en gros que l'univers était instable au sens de la mesure de Lebesgue, mais que génériquement ça allait, parce qu'il y avait un ensemble A qui était de mesure nulle tout en étant un G-delta dense. Bon, si quelqu'un peut donner un exemple explicite, qui sonnera certainement moins pipo que mes (vagues) souvenirs, qu'il n'hésite surtout pas (d'autant plus que ça peut-être sympa à ajouter dans le fascicule des contre ex.

__
rvz

[Quinto]

(Rappel : Un G-delta est une intersection dénombrable d'ouverts denses, et c'est dense par le lemme de Baire). [...]
parce qu'il y avait un ensemble A qui était de mesure nulle tout en étant un G-delta dense.

Salut,
attention, un G-delta est une intersection dénombrable d'ouverts, non nécessairement denses, ce que tu sembles d'ailleurs confirmer par la suite de tes propos.
Enfin c'était du chipotage.
A+

[invite6b1e2c2e]

yep !
Mes doigts ont glissés...

__
rvz

[Eogan]

Merci beaucoup, mais je ne pensais pas qu'on arriverait à parler de proba à partir de ma question!
PS: J'ai eu de la chance il s'agissait bien d'un endomorphisme bijectif!!